Question

正四棱錐的棱長(zhǎng)均為a,

（1）求側(cè)面與底面所成角α的余弦;

（2）求相鄰兩個(gè)側(cè)面所成二面角β的余弦;

（3）求證:β=2α.

Answer 1

（1）解析:如圖，作高SO和斜高SE,連結(jié)OE,

∵棱錐S—ABCD為正四棱錐,∴OE⊥BC.

∴∠SEO為側(cè)面與底面所成的角.

由題知∠SEO=α,

∵SE=a,OE=a,

∴cosα==.

（2）解析:設(shè)SA的中點(diǎn)為F,連結(jié)BF和DF,

∵△ABS和△ADS都是正三角形，

∴DF⊥SA,BF⊥SA.

∴∠DFB為相鄰兩側(cè)面所成二面角的平面角.

∴∠DFB=β.

由DF=BF= a,BD=a得

cosβ=.

（3）證明:∵cos2α=2cos²α-1=-,

由（2）得cosβ=-,

0°＜2α＜180°,0°＜β＜180°，∴β=2α.

小結(jié)：正棱錐中斜高和斜高在底面上的射影所成的角為側(cè)面與底面所成的角，求側(cè)面與底面所成的角時(shí)，通常作出高、斜高及斜高在底面上的射影來組成直角三角形，通過解直角三角形求出要求的角.本例中的（2）求兩個(gè)側(cè)面所成二面角β的余弦是利用余弦定理求得的.