Question

已知⊙Q過定點A（0，p）（p＞0），圓心Q在拋物線x²=2py上運動，MN為圓Q在x軸上所截得的弦．
（1）當Q點運動時，MN是否有變化？并證明你的結論；
（2）當OA是OM與ON的等差中項時，試判斷拋物線C的準線與圓Q的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）設Q（x₀，y₀），則x₀²=2py₀（y₀≥0），則⊙Q的半徑|QA|=

x 2 0 +(y0-p)2

，⊙Q的方程為（x-x₀）²+（y-y₀）²=x₀²+（y₀-p）²．由此能夠導出|MN|不變化，為定值2p．
（2）設M（x₀-p，0），N（x₀+p，0），由|OA|=|OM|+|ON|，得2p=|x₀-p|+|x₀+p|，所以-p≤x₀≤p．由此能夠導出⊙Q與拋物線的準線總相交．

解答：（本題16分）解：（1）設Q（x₀，y₀），則x₀²=2py₀（y₀≥0）
則⊙Q的半徑|QA|=

x 2 0 +(y0-p)2

，…（1分）
⊙Q的方程為（x-x₀）²+（y-y₀）²=x₀²+（y₀-p）²…（3分）
令y=0，并把x₀²=2py₀代入得x²-2x₀x+x₀²-p²=0，
解得x₁=x₀-p，x₂=x₀+p，…（6分）
∴|MN|=|x₁-x₂|=2p，∴|MN|不變化，為定值2p．…（7分）
（2）不妨設M（x₀-p，0），N（x₀+p，0）…（8分）
由題2|OA|=|OM|+|ON|，得2p=|x₀-p|+|x₀+p|
∴-p≤x₀≤p．…（11分）
∵Q到拋物線準線y=-

p

2

的距離d=y0+

p

2

=

x 2 0 +p2

2p

…（12分）
⊙Q的半徑r=|QA|=

x 2 0 +(y0-p)2

=

x 2 0 +( x 2 0 2p -p)2

=

1

2p

x 4 0 +4p4

…（14分）r2-d2=

x 4 0 +4p4

4p2

-

( x 2 0 +p2)2

4p2

=

-2 x 2 0 +3p2

4

=

( 3 2 p2- x 2 0 )

2

又

x

2 0

≤p2＜

3

2

p2   (p＞0)，故r＞d，
即⊙Q與拋物線的準線總相交．…（16分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與圓錐曲線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．