Question

已知動圓過定點A(4,0), 且在y軸上截得的弦MN的長為8.

(Ⅰ) 求動圓圓心的軌跡C的方程;

(Ⅱ) 已知點B(－1,0), 設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P, Q, 若x軸是的角平分線, 證明直線l過定點.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) （） (Ⅱ)見解析

【解析】(Ⅰ)設(shè)動圓圓心C的坐標(biāo)為（ x , y ）則所以，所求動圓圓心的軌跡C的方程為（）

(Ⅱ)證明：

設(shè)直線l方程為，聯(lián)立得（其中）

設(shè),若x軸是的角平分線，則

，即故直線l方程為，直線l過定點.（1,0）

本題考查軌跡方程求法、直線方程、圓方程、直線與圓的位置關(guān)系及直線過定點問題.第一問曲線軌跡方程的求解問題是高考的熱點題型之一，準(zhǔn)確去除不滿足條件的點是關(guān)鍵.第二問對角平分線的性質(zhì)運用是關(guān)鍵，對求定值問題的解決要控制好運算量，同時注意好判別式的條件，以防多出結(jié)果.圓錐曲線問題經(jīng)常與向量、三角函數(shù)結(jié)合，在訓(xùn)練中要注意.本題無論是求圓心的軌跡方程，還是求證直線過定點，計算量都不太大，對思維的要求挺高；設(shè)計問題背景，彰顯應(yīng)用魅力.

【考點定位】本題考查跡曲線方程求法、直線方程、圓方程、直線與圓的位置關(guān)系及直線過定點問題，屬于中檔題.