Question

已知數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=pn²+qn(p、q為常數(shù)),

(1)當(dāng)p和q滿足什么條件時,數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列;

(2)設(shè)b_n=a_n+1－a_n,求證:對任意實數(shù)p、q,數(shù)列{b_n}都是等差數(shù)列.

Answer 1

(1)解:設(shè)數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列,則a_n+1－a_n=［p(n+1)²+q(n+1)］－(pn²+qn)=2pn+p+q應(yīng)是一個與n無關(guān)的常數(shù),所以有2p=0,即p=0,q∈R.

(2)證明:因為a_n+1－a_n=［p(n+1)²+q(n+1)］－(pn²+qn)=2pn+p+q,a_n+2－a_n+1=2p(n+1)+p+q,

所以b_n+1－b_n=(a_n+2－a_n+1)－(a_n+1－a_n)=［2p(n+1)+p+q］－(2pn+p+q)=2p(常數(shù)).

所以數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列.

點評:等差數(shù)列定義的數(shù)學(xué)符號語言可表述為:在數(shù)列{a_n}中,若a_n+1－a_n=d(常數(shù))對于任意的n∈N^*都成立,則數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列,與a_n+1－a_n=d(n∈N^*)等價的式子還有a_n－a_n－1=d

(n≥2,n∈N^*),a_n－1－a_n－2=d(n≥3,n∈N^*),…,總之,只要能表示從差a₂－a₁開始,以及以后的差a₃－a₂,a₄－a₃,…都等于同一個常數(shù)即可.因此,證明數(shù)列{a_n}是否是等差數(shù)列,只需要證明以上等價表達式中其中之一成立即可.但a_n+2－a_n=d(n∈N^*)成立,不能說明數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列,只能說這個數(shù)列從第2項起(即去掉第一項后)是一等差數(shù)列.如果要說明數(shù)列{a_n}不是等差數(shù)列,那么只需說明某兩個差a_m+1－a_m與a_n+1－a_n(m≠n)不相等(即不等同一個常數(shù))即可,或者證明a_n+1－a_n是與n有關(guān)的表達式.