如圖所示，正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面相互垂直，已知AB=2，AF=
2
．
（I）求證：EO⊥平面BDF；
（II）求二面角A-DF-B的大小．
證明：（I）如圖，正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面相互垂直，對角線BD⊥AC，故有BD⊥平面ACEF，又EO?平面ACEF，故得BD⊥EO
又AB=2，AF=
2
．可求得AC=2
2
，即CO=AO=AF=CE=
2
，由于三角形ECO與三角形FAO都是直角三角形，故可得∠EOC=∠FOA=45°，所以∠EOF=90°，即EO⊥OF
又FO∩BD=O，故有EO⊥平面BDF
（II）過O作OP⊥AD于P，過P作PM⊥DF于M，連接OM，
由題設(shè)條件知F-AD-O是直二面角，故可得OP⊥面ADF，由此可得OP⊥DF，由作圖，PM⊥DF，故有DF⊥面OMP，所以O(shè)M⊥DF，由此可證得∠OMP即二面角的平面角，
在直線三角形DOA中，由于OA=OD，故P是AD中點(diǎn)，易得OP=1
在直角三角形DAF中可求得DF=
6
，由P是中點(diǎn)得DP=1，
由于△DAF≈△DMP，故有
DP
DF
=
MP
AF
得MP=
DP×AF
DF
=
1×
2
6
=
3
3

在直角三角形OPM中，tan∠OMP=
OP
MP
=
1
3
3
=
3

二面角A-DF-B的大小為60°
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BE⊥平面ABCD，AB=BC=BE=2AD=2．
（Ⅰ）求異面直線DE與AC所成角的大�。�
（Ⅱ）在線段CE上是否存在點(diǎn)F，使平面BDF⊥平面ADE，若存在，確定點(diǎn)F的位置，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)D，且BA1⊥AC1．
（1）求證：AC1⊥平面A1BC；
（2）求多面體B1C1ABC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知四棱錐S-ABCD中，側(cè)棱SA⊥底面ABCD，且底面ABCD是邊長為2的正方形，SA=2，AC與BD相交于點(diǎn)O．
（1）證明：SO⊥BD；
（2）求三棱錐O-SCD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，且∠BAD=60°，側(cè)面PAD是正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)．
（1）求證：BG⊥面PAD；
（2）E是BC的中點(diǎn)，在PC上求一點(diǎn)F，使得PG∥面DEF．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖，BC是Rt△ABC的斜邊，AP⊥平面ABC，連接PB、PC，作PD⊥BC于D，連接AD，則圖中共有直角三角形______個．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分PC，且分別交AC、PC于D、E兩點(diǎn)，又PB=BC，PA=AB．
（Ⅰ）求證：PC⊥平面BDE；
（Ⅱ）若點(diǎn)Q是線段PA上任一點(diǎn)，求證：BD⊥DQ；
（Ⅲ）求線段PA上點(diǎn)Q的位置，使得PC∥平面BDQ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，四個側(cè)面都是等邊三角形，AC與BD的交點(diǎn)為O，E為側(cè)棱SC上一點(diǎn)．
（1）當(dāng)E為側(cè)棱SC的中點(diǎn)時，求證：SA∥平面BDE；
（2）求證：平面BED⊥平面SAC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD．請指出圖中所有互相垂直的平面，并說明理由．

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同步練習(xí)冊答案