設f(n)=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
，是否存在g（n），使等式f（1）+f（2）+…+f（n-1）=g（n）f（n）-1
對n≥2的一切自然數(shù)都成立，并證明你的結論．
分析：先將f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）用f（n）表示，然后代入f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n-1）=g（n）f（n）-1，即可求出g（n）的解析式．
解答：解：由于f（1）=1，f（2）=1+
1
2
，f（3）=1+
1
2
+
1
3
，…，f（n）=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
，
所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n-1）
=（n-1）×1+（n-2）×
1
2
+（n-3）×
1
3
+…+[n-（n-2）]×
1
n-2
+[n-（n-1）]×
1
n-1
 
=n[1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n-1
]-（n-1），
而g（n）f（n）-1=g（n）（1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
）-1
故由等式f（1）+f（2）+…+f（n-1）=g（n）f（n）-1，
可得 n[1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n-1
]-（n-1）=g（n）（1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
）-1，
解得g（n）=
n(
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n-1
)+2
1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
=
n(1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
)+1
1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
=n+
1
1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
．
故存在g（n）滿足條件，且通項公式為 g（n）=n+
1
1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
．
點評：本題主要考查數(shù)列的求和，以及存在性問題，同時考查了計算能力和轉化能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f(n)=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
， g(n)=lnn  (n∈N*)．
（1）設an=f（n）-g（n），求a1，a2，a3，并證明{an}為遞減數(shù)列；
（2）是否存在常數(shù)c，使f（n）-g（n）＞c對n∈N*恒成立？若存在，試找出c的一個值，并證明；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f(n)=1+
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
2n
，則f（k+1）-f（k）=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f(n)=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
，則f（2k）變形到f（2k+1）需增添項數(shù)為（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f(n)=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
，那么f（2k+1）-f（2k）=
1
2k+1
+
1
2k+2
+…+
1
2k+1
1
2k+1
+
1
2k+2
+…+
1
2k+1
．

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