Question

已知圓C經(jīng)過點A（1，4）、B（3，-2），圓心C到直線AB的距離為，求圓C的方程．

Answer 1

解：法Ⅰ：設(shè)圓心C（a，b），半徑為r
易見線段AB的中點為M（2，1）

∵CM⊥AB，
∴即：3b=a+1①

又∵∴（a-2）²+（b-1）²=10②

聯(lián)立①②得或
即C（-1，0）或C（5，2）

∴r²=|CA|²=20
故圓的方程為：（x+1）²+y²=20或（x-5）²+（y-2）²=20

法Ⅱ：∵A（1，4）、B（3，-2）
∴直線AB的方程為：3x+y-7=0

∵線段AB的中點為M（2，1）
∴圓心C落在直線AB的中垂線：x-3y+1=0上

不妨設(shè)C（3b-1，b）

∴

解得b=0或b=2
即C（-1，0）或C（5，2）…（10分）∴r²=|CA|²=20
故圓的方程為：（x+1）²+y²=20或（x-5）²+（y-2）²=20

分析：解法I：設(shè)圓心C（a，b），半徑為r，圓C經(jīng)過點A（1，4）、B（3，-2），圓心C到直線AB的距離為，由垂徑定理可得，圓心與直線AB的中點M的連線長度為，且與AB垂直，由此建立關(guān)于a，b，r的方程組，進(jìn)而得到圓C的方程．
解法II：由已知中圓C經(jīng)過點A（1，4）、B（3，-2），我們由垂徑定理得到C點在AB的中垂線上，可設(shè)C點坐標(biāo)為C（3b-1，b），進(jìn)而根據(jù)圓心C到直線AB的距離為，構(gòu)造方程求出b值，進(jìn)而求出圓的半徑，得到圓C的方程．
點評：本題考查的知識點是直線和圓的方程的應(yīng)用，其中根據(jù)圓C經(jīng)過點A（1，4）、B（3，-2），得到圓心在AB的中垂線上，是解答本題的關(guān)鍵．