Question

15．設(shè)命題p：?x∈R，x²-2（m-3）x+1=0，命題q：?x∈R，x²-2（m+5）x+3m+19≠0
（1）若p∨q為真命題，且p∧q為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍
（2）若p∧q為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出命題p，q為真時實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（1）若p∨q為真命題，且p∧q為假命題，則命題p，q一真一假，進(jìn)而可得滿足條件的a的取值范圍．
（2）若p∧q為假命題，則命題p，q至少有一個假命題，進(jìn)而可得滿足條件的a的取值范圍．

解答 解：若命題p：?x∈R，x²-2（m-3）x+1=0為真命題，
則△=4（m-3）²-4≥0，
解得：m∈（-∞，2]∪[4，+∞）；
若命題q：?x∈R，x²-2（m+5）x+3m+19≠0
則△=4（m+5）²-4（3m+19）＜0，
解得：m∈（-6，-1），
（1）若p∨q為真命題，且p∧q為假命題，
則命題p，q一真一假，
當(dāng)p真q假時，m∈（-∞，2]∪[4，+∞），且m∈（-∞，-6]∪[-1，+∞）
即m∈（-∞，-6]∪[-1，2]∪[4，+∞），
當(dāng)p假q真時，m∈（2，4），且m∈（-6，-1），此時不存在滿足條件的m值；
綜上可得：m∈（-∞，-6]∪[-1，2]∪[4，+∞）…（6分）
（2）若p∧q為假命題，則命題p，q至少有一個假命題，
若命題p，q全為假，則m∈（2，4），且m∈（-∞，-6]∪[-1，+∞）
即m∈（2，4），
結(jié)合（1）的結(jié)論可得：
此時m∈（-∞，-6]∪[-1，+∞）        …（9分）

點(diǎn)評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了復(fù)合命題，方程根的個數(shù)及判斷等知識點(diǎn)，難度中檔．