Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F(xiàn)₁、F₂是其左右焦點(diǎn)，其離心率是

6

3

，P是橢圓上一點(diǎn)，△PF₁F₂的周長是2（

3

+

2

）．
（1）求橢圓的方程；
（2）試對m討論直線y=2x+m（m∈R）與該橢圓的公共點(diǎn)的個數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用離心率是

6

3

，P是橢圓上一點(diǎn)，△PF₁F₂的周長是2（

3

+

2

），建立方程組，求出幾何量，即可求橢圓的方程；
（2）直線y=2x+m代入橢圓的方程，整理得：13x²+12mx+3m²-3=0，利用判別式，即可求得直線與該橢圓的公共點(diǎn)的個數(shù)．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓的焦距是2c，據(jù)題意則有

c a = 6 3 2a+2c=2( 3 + 2 )

，
∴a=

3

，c=

2

，
∴b=1，
故橢圓的方程是

x2

3

+y2=1．…5分
（2）聯(lián)立的方程組

y=2x+m x2 3 +y2=1

，整理得：13x²+12mx+3m²-3=0
其判別式△=144m²-52（3m²-3）=156-12m²．…8分
當(dāng)△＜0即m＜-

13

或m＞

13

時，直線與橢圓無公共點(diǎn)；
當(dāng)△=0即m=±

13

時，直線與橢圓恰有一個公共點(diǎn)；
當(dāng)△＞0即-

13

＜m＜

13

時，直線與橢圓恰有兩個不同公共點(diǎn)．…11分．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定橢圓的方程是關(guān)鍵．