Question

已知向量

m

=(

1

a

，

1

2a

)(a＞0)，將函數(shù)f(x)=

1

2

ax2-a的圖象按向量

m

平移后得到函數(shù)g（x）的圖象．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）若函數(shù)g(x)在[

2

，2]上的最小值為h（a），求h（a）的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用圖象平移的知識，根據(jù)向量平移的公式建立平移之后的圖象上點的坐標(biāo)與平移之前圖象上點的坐標(biāo)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中得到的函數(shù)關(guān)系式，確定該函數(shù)是二次函數(shù)類型，根據(jù)對稱軸與函數(shù)定義區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合分類討論思想求出函數(shù)的最小值的表達(dá)式是解決本題的關(guān)鍵．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y）是函數(shù)y=f（x）圖象上的任意一點，它在函數(shù)y=g（x）圖象上的對應(yīng)點P'（x'，y'），則由平移公式，得

x′=x+ 1 a y′=y- 1 2a

∴

x=x′- 1 a y=y′+ 1 2a

代入函數(shù)y=f(x)=

1

2

ax2-a中，
得y′+

1

2a

=

1

2

a(x′-

1

a

)2-a.
∴函數(shù)y=g（x）的表達(dá)式為g(x)=

1

2

a(x-

1

a

)2-a-

1

2a

.
（Ⅱ）函數(shù)g（x）的對稱軸為x=

1

a

＞0.
①當(dāng)0＜

1

a

＜

2

即a＞

2

2

時，函數(shù)g（x）在[

2

，2]上為增函數(shù)，
∴h(a)=g(

2

)=-

2

；
②當(dāng)

2

≤

1

a

≤2即

1

2

≤a≤

2

2

時，h(a)=g(

1

a

)=-a-

1

2a

.
∴h(a)=-a-

1

2a

=-(a+

1

2a

)≤-2

a• 1 2a

=-

2

當(dāng)且僅當(dāng)a=

2

2

時取等號；
③當(dāng)

1

a

＞2即0＜a＜

1

2

時，函數(shù)g（x）在[

2

，2]上為減函數(shù)，
∴h(a)=g(2)=a-2＜

1

2

-2=-

3

2

.
綜上可知，h(a)=

- 2 ，a＞ 2 2 -a- 1 2a 1 2 ≤a≤ 2 2 . a-2，0＜a＜ 1 2

∴當(dāng)a=

2

2

時，函數(shù)h（a）的最大值為h(

2

2

)=-

2

.

點評：本題考查向量平移公式的運(yùn)用，考查學(xué)生對函數(shù)圖象平移本質(zhì)的理解，考查學(xué)生的分類討論思想，二次函數(shù)最值問題的求解，考查學(xué)生最值問題的求法．