Question

已知離心率為

1

2

的橢圓C₁的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，拋物線C₂：y²=4mx（m＞0）的焦點(diǎn)為F₂，設(shè)橢圓C₁與拋物線C₂的一個(gè)交點(diǎn)為P（x'，y'），|PF1|=

7

3

，則橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1

；拋物線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y²=4x

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意設(shè)出橢圓的方程，把橢圓的方程與拋物線的方程進(jìn)行聯(lián)立，得到交點(diǎn)的坐標(biāo)，|PF₁|的長(zhǎng)，求出m的值，求寫出橢圓的方程、拋物線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到結(jié)果．

解答：解：因?yàn)閏=m，e=

1

2

，
∴a=2m，b²=3m²，設(shè)橢圓方程為

x2

4m2

+

y2

3m2

=1，
由橢圓的方程與y²=4mx，得3x²+16mx-12m²=0
即（x+6m）（3x-2m）=0，得x₁=

2m

3

，
代入拋物線方程得y=

2 6

3

m，P（

2m

3

，

2 6

3

m）
|PF₂|=x₁+m=

5m

3

，
|PF₁|=2a-

5m

3

=

7m

3

=

7

3

，
∴m=1，
當(dāng)m=1時(shí)，橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1；拋物線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y²=4x．
故答案為：

x2

4

+

y2

3

=1；y²=4x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查解析幾何與數(shù)列的綜合題目，題目中所應(yīng)用的數(shù)列的解題思想，用到曲線與曲線之間的交點(diǎn)問(wèn)題，本題主要考查運(yùn)算，整個(gè)題目的解答過(guò)程看起來(lái)非常繁瑣，注意運(yùn)算．