Question

【題目】設(shè)函數(shù)（其中為實(shí)數(shù)）.

（1）若，求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）求證：若不是的極值點(diǎn)，則無(wú)極值點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）有個(gè)零點(diǎn)；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理判斷出函數(shù)在區(qū)間和上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，由此可得出結(jié)論；

（2）分析出當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的極值點(diǎn)，在時(shí)，求得，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，令得，對(duì)與的大小進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，由此可證得結(jié)論.

（1）由題意得，所以，

又，且，所以恒成立，從而函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

因?yàn)?/span>，，函數(shù)在上單調(diào)遞減且圖象連續(xù)不斷，

所以函數(shù)在上恰有個(gè)零點(diǎn)，

因?yàn)?/span>，，函數(shù)在上單調(diào)遞增且圖象連續(xù)不斷，

所以函數(shù)在上恰有個(gè)零點(diǎn)，

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)；

（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

又，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以，是函數(shù)的極小值點(diǎn).

同理當(dāng)時(shí)，也是函數(shù)的極小值點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，由得，且在上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

從而函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.

若，即，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則是函數(shù)的極值點(diǎn)；

同理若，即，則也是函數(shù)的極值點(diǎn)；

若，即，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)不是函數(shù)的極值點(diǎn).

綜上可知，若不是函數(shù)的極值點(diǎn)，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而函數(shù)無(wú)極值點(diǎn).