Question

一個口袋中裝有1個紅球和5個白球，一次摸獎從中摸兩個球，兩個球顏色不同則為中獎．
（1）求一次摸獎就中獎的概率；
（2）設三次摸獎（每次摸獎后放回）中獎的次數(shù)為ξ，求ξ的分布列及期望值．

Answer 1

分析：（1）計算出從裝有10只球的口袋中每次從中摸出2個球的方法，而摸出的球是不同色的事件數(shù)是C₅¹，由古典概型公式，代入數(shù)據(jù)得到結(jié)果，注意運算要正確，因為第二問要用本問的結(jié)果．
（2）連續(xù)3次摸球中獎的次數(shù)為ξ，由題意知ξ的取值是0、1、2、3，本題是一個獨立重復試驗，根據(jù)上面的結(jié)果，代入公式得到結(jié)果，寫出分布列．

解答：解：（1）由題意知本題是一個古典概型，
∵從裝有10只球的口袋中每次從中摸出2個球有C₆²=15種摸法，
摸出的球是不同色的事件數(shù)是C₅¹=5，
設一次摸球中獎的概率為P₁，
由由古典概型公式可得：P₁=

5

15

=

1

3

．
所以一次摸獎就中獎的概率為

1

3

．
（2）由題意知ξ的取值可以是0，1，2，3
P（ξ=0）=（1-P₁）³=

8

27

，
P（ξ=1）=C₃¹（1-P₁）²P₁=

4

9

，
P（ξ=2）=C₃²（1-P₁）P₁²=

2

9

，
P（ξ=3）=P₁³=

1

27

．
∴ξ的分布列如下表：

ξ	0	1	2	3
P	8 27	4 9	2 9	1 27

所以ξ的期望為E_ξ=0×

8

27

+1×

4

9

+2×

2

9

+3×

1

27

=1．

點評：求離散型隨機變量期望的步驟：①確定離散型隨機變量 的取值．②寫出分布列，并檢查分布列的正確與否，即看一下所有概率的和是否為1．③求出期望．