Question

9．已知點(diǎn)A，B，C，D是直角坐標(biāo)系中不同的四點(diǎn)，若$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AB}$（λ∈R），$\overrightarrow{AD}$=μ$\overrightarrow{AB}$（μ∈R），且$\frac{1}{λ}$+$\frac{1}{μ}$=2，則下列說(shuō)法正確的是（　　）

• A． C可能是線段AB的中點(diǎn)
• B． D可能是線段AB的中點(diǎn)
• C． C、D可能同時(shí)在線段AB上
• D． C、D不可能同時(shí)在線段AB的延長(zhǎng)線上

Answer 1

分析 根據(jù)向量共線定理得到A，B，C，D四點(diǎn)共線，再利用反證法求證，問(wèn)題得以解決．

解答 解：由題意知$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AB}$（λ∈R），$\overrightarrow{AD}$=μ$\overrightarrow{AB}$（μ∈R）且$\frac{1}{λ}$+$\frac{1}{μ}$=2，
故A，B，C，D四點(diǎn)共線，
若C是線段AB的中點(diǎn)，$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，∴λ=$\frac{1}{2}$，μ=0，不成立，A錯(cuò)誤；
同理，若D是線段AB的中點(diǎn)，$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，∴λ=0，μ=$\frac{1}{2}$，不成立，B錯(cuò)誤；
若C，D同時(shí)在線段AB上，則0＜λ＜1，0＜μ＜1，
∴$\frac{1}{λ}$+$\frac{1}{μ}$＞2，與$\frac{1}{λ}$+$\frac{1}{μ}$=2矛盾，故C錯(cuò)誤；
若C，D不可能同時(shí)在線段AB的延長(zhǎng)線上，
假設(shè)M，N同時(shí)在線段AB的延長(zhǎng)線上，
則λ＞1．μ＞1，∴$\frac{1}{λ}$+$\frac{1}{μ}$＜2，與$\frac{1}{λ}$+$\frac{1}{μ}$=2矛盾，
故假設(shè)不成立，所以C、D不可能同時(shí)在線段AB的延長(zhǎng)線上，故D正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平面向量共線定理和反證法的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．