Question

【題目】如圖所示，有一塊矩形空地ABCD，AB=2km，BC=4km，根據周邊環(huán)境及地形實際，當地政府規(guī)劃在該空地內建一個箏形商業(yè)區(qū)AEFG，箏形的頂點A，E，F(xiàn)，G為商業(yè)區(qū)的四個入口，其中入口F在邊BC上（不包含頂點），入口E，G分別在邊AB，AD上，且滿足點A，F(xiàn)恰好關于直線EG對稱，矩形內箏形外的區(qū)域均為綠化區(qū)．

（1）請確定入口F的選址范圍；
（2）設商業(yè)區(qū)的面積為S1 ， 綠化區(qū)的面積為S2 ， 商業(yè)區(qū)的環(huán)境舒適度指數為 ，則入口F如何選址可使得該商業(yè)區(qū)的環(huán)境舒適度指數最大？

Answer 1

【答案】
（1）解：以A為原點，AB所在直線為x軸，建立如圖所示平面直角坐標系，

則A（0，0），

設F（2，2a）（0＜2a＜4），則AF的中點為（1，a），斜率為a，

而EG⊥AF，故EG的斜率為 ，

則EG的方程為 ，

令x=0，得 ；

令y=0，得 ；

由 ，得 ，

∴ ，

即入口F的選址需滿足BF的長度范圍是 （單位：km）

（2）解：因為 ，

故該商業(yè)區(qū)的環(huán)境舒適度指數 ，

所以要使 最大，只需S1最�。�

設 ，

則 ，

令f'（a）=0，得 或 （舍），

a，f'（a），f（a）的情況如下表：

a	2﹣	（2﹣ ， ）			1
f'（a）		﹣	0	+
f（a）		減	極小	增

故當 ，即入口F滿足 km時，該商業(yè)區(qū)的環(huán)境舒適度指數最大

【解析】（1）以A為原點，AB所在直線為x軸，建立如圖所示平面直角坐標系，則A（0，0），設F（2，2a）（0＜2a＜4），則AF的中點為（1，a），斜率為a，EG⊥AF，求出EG的方程，列出不等式即可求出；（2）因為 ，該商業(yè)區(qū)的環(huán)境舒適度指數 ，所以要使 最大，只需S1最�。�轉化為求其最小值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減)．