過拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)F作直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1時(shí)，|AF|＝2.

(1)求拋物線C的方程；

(2)若直線l的斜率為2，問拋物線C上是否存在一點(diǎn)M，使得MA⊥MB，并說明理由．


　(1)由拋物線的定義得|AF|等于點(diǎn)A到準(zhǔn)線y＝－的距離，

∴1＋＝2，∴p＝2，

∴拋物線C的方程為x2＝4y.

(2)拋物線C的焦點(diǎn)為F(0,1)，直線l的方程y＝2x＋1，

設(shè)點(diǎn)A、B、M的坐標(biāo)分別為(x1，)、(x2，)、(x0，)，

由方程組消去y得，x2＝4(2x＋1)，

即x2－8x－4＝0，

由韋達(dá)定理得x1＋x2＝8，x1x2＝－4.

∴(x1－x0)(x2－x0)＋(x1－x0)(x2－x0)(x1＋x0)(x2＋x0)＝0.

∵M不與A，B重合，∴(x1－x0)(x2－x0)≠0，

∴1＋(x1＋x0)(x2＋x0)＝0，x1x2＋(x1＋x2)x0＋x＋16＝0，

∴x＋8x0＋12＝0，∵Δ＝64－48>0.

∴方程x＋8x0＋12＝0有解，即拋物線C上存在一點(diǎn)M，使得MA⊥MB.


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


已知兩定點(diǎn)M(－1,0)，N(1,0)，若直線上存在點(diǎn)P，使|PM|＋|PN|＝4，則該直線為“A型直線”．給出下列直線，其中是“A型直線”的是________(填序號(hào))．

①y＝x＋1；②y＝2；③y＝－x＋3；④y＝－2x＋3.

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已知則實(shí)數(shù)的值是（   ）

A.             B.  2              C.               D.  4

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已知點(diǎn)M(－3,0)、N(3,0)、B(1,0)，動(dòng)圓C與直線MN相切于點(diǎn)B，分別過點(diǎn)M、N且與圓C相切的兩條直線相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡方程為(　　)

A．x2－＝1(x>1)　　　                            B．x2－＝1(x>0)

C．x2－＝1(x>0)                                     D．x2－＝1(x>1)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


已知F是橢圓＋＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P，使得直線PF與圓x2＋y2＝b2相切，當(dāng)直線PF的傾斜角為時(shí)，此橢圓的離心率是________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


如圖所示，在△DEM中，＝(0，－8)，N在y軸上，且點(diǎn)E在x軸上移動(dòng)．

(1)求點(diǎn)M的軌跡方程；

(2)過點(diǎn)F(0,1)作互相垂直的兩條直線l1、l2，l1與點(diǎn)M的軌跡交于點(diǎn)A、B，l2與點(diǎn)M的軌跡交于點(diǎn)C、Q，求的最小值．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的離心率為，則它的漸近線方程為(　　)

A．y＝±2x                                                     B．y＝±x

C．y＝±x                                                  D．y＝±x

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


若原點(diǎn)O和點(diǎn)F(－2,0)分別為雙曲線－y2＝1(a>0)的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍為(　　)

A．[3－2，＋∞)                                     B．[3＋2，＋∞)

C．[－，＋∞)                                          D．[，＋∞)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


方程(2x＋3y－1)( －1)＝0表示的曲線是(　　)

A．兩條直線                                                 B．兩條射線

C．兩條線段                                                 D．一條直線和一條射線

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