Question

已知，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（1）當(dāng)a=2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=2時，對任意的m∈[-1，1]，n∈[-1，1]，求f（m）+f'（n）的最小值；
（3）若?x∈（0，+∞），使f（x）＞0，求a取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知f（x）=-x³+2x²-4，f′（x）=-3x²+4x，由導(dǎo)數(shù)解出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）可分別求f（m）、f′（n）的最小值，再求f（m）+f′（n）的最小值，
（2）存在x∈（0，+∞），使f（x）＞0即尋找f（x）_max＞0的變量a的范圍．由此知可先求函數(shù)函數(shù)在（0，+∞）上的最大值，再令最大值大于0即可得到關(guān)于a的不等式，解此不等式求出它的取值范圍
解答：解：（1）由題意知f（x）=-x³+2x²-4，f′（x）=-3x²+4x
令f′（x）=0，得x=0或
令f′（x）＞0，可解得x∈（0，），令f′（x）＜0，可解得x∈（-∞，0）∪（ ，+∞），
故函數(shù)在x∈（0，）上是增函數(shù)，在（-∞，0）與（ ，+∞）上是減函數(shù)，
（2）由（1）知
當(dāng)x在[-1，1]上變化時，f（x），f′（x）隨x的變化情況如下表：

∴對于m∈[-1，1]，f（m）的最小值為f（0）=-4，
∵f′（x）=-3x²+4x的對稱軸為 且拋物線開口向下
∴對于n∈[-1，1]，f′（n）的最小值為f′（-1）=-7，
∴f（m）+f′（n）的最小值為-11．
（2）∵f′（x）=-3x（x-）
①若a≤0，當(dāng)x＞0，時f′（x）＜0
∴f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，又f（0）=-4，則當(dāng)x＞0時，f（x）＜-4∴當(dāng)a≤0時，不存在x＞0，使f（x）＞0
②若a＞0，則當(dāng)0＜x＜時，f′（x）＞0，
當(dāng)x＞時，f′（x）＜0從而f（x）在（0，]上單調(diào)遞增，在[，+∞）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x）_max=f（ ）=
根據(jù)題意，，即a³＞27，解得a＞3
綜上，a的取值范圍是（3，+∞）
點評：本題考查利用求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的最值，及函數(shù)恒成立問題的求解，轉(zhuǎn)化的思想及推理判斷的能力，解題的關(guān)鍵是熟練掌握導(dǎo)數(shù)的運算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)的方法，本題運算量較大，易出錯，解題時要嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真，