Question

已知函數(shù)f（x）=（1+x）^t-1的定義域為（-1，+∞），其中實數(shù)t滿足t≠0且t≠1．直線l：y=g（x）是f（x）的圖象在x=0處的切線．
（1）求l的方程：y=g（x）；
（2）若f（x）≥g（x）恒成立，試確定t的取值范圍；
（3）若a₁，a₂∈（0，1），求證：

a

a1 1

+

a

a2 2

≥

a

a2 1

+

a

a1 2

．
注：當(dāng)α為實數(shù)時，有求導(dǎo)公式（x^α）′=αx^α-1．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的解析式求出導(dǎo)函數(shù)的解析式，求出切點坐標及切線的斜率（切點的導(dǎo)函數(shù)值），可得直線l的方程．
（2）構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），若f（x）≥g（x）恒成立，即h（x）≥0在（-1，+∞）上恒成立，即h（x）在（-1，+∞）上的最小值不小于0，分類討論后，可得滿足條件的t的取值范圍；
（3）分a₁=a₂和a₁≠a₂兩種情況證明結(jié)論，并構(gòu)造函數(shù)φ(x)=xa1-xa2，先證得φ（x）是單調(diào)減函數(shù)，進而得到結(jié)論．

解答：解：（1）∵f（x）=（1+x）^t-1
∴f'（x）=t（1+x）^x-1，
∴f'（0）=t，
又f（0）=0，
∴l(xiāng)的方程為：y=tx；…2'
（2）令h（x）=f（x）-g（x）=（1+x）^t-tx-1h'（x）=t（1+x）^t-1-t=t[（1+x）^t-1-1]
當(dāng)t＜0時，（1+x）^t-1-1單調(diào)遞減，
當(dāng)x=0時，h'（x）=0
當(dāng)x∈（-1，0），h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（0，+∞），h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增．
∴x=0是h（x）的唯一極小值點，
∴h（x）≥h（0）=0，f（x）≥g（x）恒成立；…4'
當(dāng)0＜t＜1時，（1+x）^t-1-1單調(diào)遞減，
當(dāng)x=0時，h'（x）=0
當(dāng)x∈（-1，0），h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（0，+∞），h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減．
∴x=0是h（x）的唯一極大值點，
∴h（x）≤h（0）=0，不滿足f（x）≥g（x）恒成立；…6'
當(dāng)t＞1時，（1+x）^t-1-1單調(diào)遞增，
當(dāng)x=0時，h'（x）=0
當(dāng)x∈（-1，0），h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（0，+∞），h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增．
∴x=0是h（x）的唯一極小值點，
∴h（x）≥h（0）=0，f（x）≥g（x）恒成立；
綜上，t∈（-∞，0）∪（1，+∞）；…8'
證明：（3）當(dāng)a₁=a₂，不等式顯然成立；…9'
當(dāng)a₁≠a₂時，不妨設(shè)a₁＜a₂
則a1a1+a2a2＞a1a2+a2a1?a1a1-a1a2＞a2a1-a2a2
令φ(x)=xa1-xa2，x∈[a₁，a₂]
下證φ（x）是單調(diào)減函數(shù)：
∵φ′(x)=a1xa1-1-a2xa2-1=a1xa2-1(xa1-a2-

a2

a1

)
易知a₁-a₂∈（-1，0），1+a₁-a₂∈（0，1），

1

1+a1-a2

＞1
由（2）知當(dāng)t＞1，（1+x）^t＞1+tx，x∈[a₁，a₂]
∴

a	1 1+a1-a2 2

=[1+(a2-1)]

1

1+a1-a2

＞1+

a2-1

1+a1-a2

=

a1

1+a1-a2

＞a1
∴a2＞

a

1+a1-a2 1

∴

a2

a1

＞

a

a1-a2 1

≥xa1-a2
∴φ'（x）＜0，
∴φ（x）在[a₁，a₂]上單調(diào)遞減．
∴φ（a₁）＞φ（a₂），
即a1a1-a1a2＞a2a1-a2a2
∴a1a1+a2a2＞a1a2+a2a1．
綜上，a1a1+a2a2≥a1a2+a2a1成立…14'

點評：本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值問題中的應(yīng)用，是導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度比較大．