已知O是線段AB外一點，若
OA
=
a
，
OB
=
b
．
（1）設點P、Q是線段AB的三等分點，試用向量
a
、
b
表示
OP
+
OQ
；
（2）如果在線段AB上有若干個等分點，你能得到什么結論？請證明你的結論．說明：第（2）題將根據(jù)結論的一般性程度給予不同的評分．
分析：（1）由三角形法則及向量共線的數(shù)乘表示，分別用向量
a
、
b
表示出
OP
，
OQ
，相加即得用向量
a
、
b
表示
OP
+
OQ
的表達式；
（2）可先對二等分點，四等分點進行探究，歸納得出猜想
OA1
+
OA2
+…+
OAn-1
=
n-1
2
(
a
+
b
)，再數(shù)學歸納法證明結論．
解答：精英家教網(wǎng)解：（1）如圖：點P、Q是線段AB的三等分點
OP
=
OA
+
AP
=
OA
+
1
3
(
OB
-
OA
)，
則
OP
=
2
3
a
+
1
3
b
，同理
OQ
=
1
3
a
+
2
3
b
，（2分）
所以
OP
+
OQ
=
a
+
b
（4分）
（2）層次1：設A1是AB的二等分點，則OA1=
a
+
b
2
；
設A1、A2、A3是AB的四等分點，則
OA1
+
OA2
+
OA3
=
3(
a
+
b
)
2
等等（結論（2分），證明2分）
層次2：設A1，A2，，An-1是AB的n等分點，則
OAk
+
OAn-k
=
OA
+
OB
等；（結論（2分），證明4分）
層次3：設A1，A2．，…，An-1是AB的n等分點，
則
OA1
+
OA2
+…+
OAn-1
=
n-1
2
(
a
+
b
)；（結論（3分），證明7分）
證：A1，A2，，An-1是線段n≥2的Sn-1=
1
4
a
2
n
+
1
2
an-1+
1
4
等分點，先證明這樣一個基本結論：
OAk
+
OAn-k
=
OA
+
OB
（1≤k≤n-1，n、k∈N*）．
由
OAk
=
OA
+
AAk
，
OAn-k
=
OB
+
BAn-k
，
因為
AAk
和
BAn-k
是相反向量，
則
AAk
+
BAn-k
=0，
所以
OAk
+
OAn-k
=
OA
+
OB
．
記S=
OA1
+
OA2
+
OA3
+…+
OAn-2
+
OAn-1
，
S=
OAn-1
+
OAn-2
+…+
OA2
+
OA1

相加得2S=(
OA1
+
OAn-1
)+(
OA2
+
OAn-2
)+…+(
OAn-1
+
OA1
)=(n-1)(
OA
+
OB
)
∴
OA1
+
OA2
+…+
OAn-1
=
n-1
2
(
a
+
b
)
點評：本題考查平面向量的綜合題，解題的關鍵是熟練掌握向量的運算法則與向量的共線條件，歸納推理的思想，數(shù)學歸納法證明方程的方法，本題中先猜想，再用數(shù)學歸納法進行證明，難度較大，解題時要注意運算變形時認真、嚴謹，避免因運算失誤導致解題失敗．
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O、A為焦點，OB長為長軸長的橢圓
．類比此命題，寫出另一個真命題：若A為⊙O外一定點，B為⊙O上一動點，線段AB的垂直平分線交直線OB于點P，則點P的軌跡是
以O，A為焦點，OB為實軸長的雙曲線
．

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