Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

2x

x+1

，且a₁=

1

2

，a_n+1=f（a_n），其中n=1，2，3，…．
（1）計(jì)算a₂，a₃的值；
（2）設(shè)b_n=

1-an

an

，求證：數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列；
（3）求證：

1

2

≤a_n＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的函數(shù)特性,等比關(guān)系的確定,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由已知條件得到數(shù)列遞推式，結(jié)合首項(xiàng)求得a₂，a₃的值；
（2）根據(jù)an+1=

2an

an+1

，b_n=

1-an

an

，直接利用等比數(shù)列的定義證得數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列；
（3）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，代入b_n=

1-an

an

求得a_n，利用作差法證明

1

2

≤a_n＜1．

解答： （1）解：由f（x）=

2x

x+1

，且a_n+1=f（a_n），
得an+1=

2an

an+1

，
∵a₁=

1

2

，∴a2=

2

3

，a₃=

4

5

；
（2）證明：∵an+1=

2an

an+1

，b_n=

1-an

an

，
∴

bn+1

bn

=

1-an+1 an+1

1-an an

=

1 an+1 -1

1-an an

=

an+1 2an -1

1-an an

=

1

2

．
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)b1=

1-a1

a1

=1，公比為

1

2

的等比數(shù)列；
（3）由（2），得bn=

1-an

an

=1×(

1

2

)n-1，
∴a_n=

2n-1

2n-1+1

．
∵an-

1

2

=

2n-1

2n-1+1

-

1

2

=

2×2n-1-2n-1-1

2(2n-1+1)

=

2n-1-1

2n+2

，
且當(dāng)n∈N^*時(shí)，2^n-1-1≥0，2ⁿ+2＞0，
∴an-

1

2

≥0，即an≥

1

2

．
∵an-1=

2n-1

2n-1+1

-1=

-1

2n-1+1

＜0，
∴a_n＜1．
綜上，對(duì)于任意n∈N^*，都有

1

2

≤a_n＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了作差法證明數(shù)列不等式，是壓軸題．