Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x﹣a|﹣2．
（Ⅰ）若a=1，求不等式f（x）+|2x﹣3|＞0的解集；
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）＜|x﹣3|恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=|x﹣a|﹣2．若a=1，
不等式f（x）+|2x﹣3|＞0，化為：|x﹣1|+|2x﹣3|＞2．
當(dāng)x≥ 時(shí)，3x＞6．解得x＞2，
當(dāng)x∈（1， ）時(shí)，可得﹣x+2＞2，不等式無解；
當(dāng)x≤1時(shí)，不等式化為：4﹣3x＞2，解得x ．
不等式的解集為：
（Ⅱ）關(guān)于x的不等式f（x）＜|x﹣3|恒成立，可得|x﹣a|﹣2＜|x﹣3|
設(shè)f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣3|，
因?yàn)閨x﹣a|﹣|x﹣3|≤|a﹣3|，
所以，f（x）max=|a﹣3|
即：|a﹣3|＜2
所以，a的取值范圍為（1，5）
【解析】（Ⅰ）化簡不等式，利用絕對(duì)值的幾何意義求解即可．（Ⅱ）設(shè)f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣3|≤|a﹣3|，轉(zhuǎn)化不等式為a的不等式，求解即可．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用絕對(duì)值不等式的解法的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)．