一個(gè)多面體的三視圖及直觀圖如圖所示:
(Ⅰ)求異面直線(xiàn)AB1與DD1所成角的余弦值:
(Ⅱ)試在平面ADD1A1中確定一個(gè)點(diǎn)F,使得FB1⊥平面BCC1B1
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求二面角F-CC1-B的余弦值.

精英家教網(wǎng)

精英家教網(wǎng)
解;依題意知,該多面體為底面是正方形的四棱臺(tái),且D1D⊥底面ABCD,AB=2A1B1=2DD1=2a…(2分)
以D為原點(diǎn),DA、DC、DD1所在的直線(xiàn)為x,y,z軸,
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),A(2a,0,0),B1(a,a,a),D1(0,0,a),B(2a,2a,0),C(0,2a,0),C1(0,a,a)…(4分)
(Ⅰ)∵
AB1
=(-a,a,a),
DD1
=(0,0,a)
∴cos<
AB1
,
DD1
>=
AB1
DD1
|
AB1
||
DD1
|
=
3
3

即直線(xiàn)AB1與DD1所成角的余弦值為
3
3
…(6分)
(II)設(shè)F(x,0,z),∵
BB1
=(-a,a,a),
BC
=(-2a,0,0),
FB1
=(a-x,a,a-z)
由FB1⊥平面BCC1B1
-a(a-x)-a2+a(a-z)=0
-2a(a-x)
x=a
z=0

∴F(a,0,0)即F為DA的中點(diǎn)…(9分)
(III)由(II)知
FB1
為平面BCC1B1的法向量.
設(shè)
n
=(x1,y1,z,)為平面FCC1的法向量.
CC1
=(0,-a,a),
FC
=)-a,2a,0)
-ay1+az1=0
-ax1+2ay1=0

令y1=1得x1=2,z1=1
n
=(2,1,1)
∴cos<
n
,
FB1
>=
n
FB1
n
||
FB1
|
=
3
3

即二面角F-CC1-B的余弦值為
3
3
…(12分)
練習(xí)冊(cè)系列答案
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(Ⅰ)求異面直線(xiàn)AB1與DD1所成角的余弦值:
(Ⅱ)試在平面ADD1A1中確定一個(gè)點(diǎn)F,使得FB1⊥平面BCC1B1;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求二面角F-CC1-B的余弦值.

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(Ⅰ)求證:AC1⊥平面A1BC;
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   (I)求證:MN⊥平面A1BC;

   (II)求異面直線(xiàn)AM和CA1所成的角的大;

   (III)求二面角A―A1B―C的大小。

 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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(Ⅰ)求異面直線(xiàn)AB1與DD1所成角的余弦值:
(Ⅱ)試在平面ADD1A1中確定一個(gè)點(diǎn)F,使得FB1⊥平面BCC1B1;
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(Ⅰ)求證:AC1⊥平面A1BC;
(Ⅱ)求直線(xiàn)BC1和平面A1BC所成角的大。

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