Question

已知圓x²+y²=4，過(guò)點(diǎn)P（0，

3

）的直線l交該圓于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB面積的最大值是（　�。�

• A、

  3

• B、2
• C、2

  3

• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：討論l斜率不存在和存在的情況，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出方程求出圓心到直線的距離d，利用基本不等式求出S_△OAB=

1

2

|AB|•d=

4-d2

•d≤

4-d2+d2

2

=2，即可得出結(jié)論．

解答： 解：當(dāng)直線l不存在斜率時(shí)，S_△OAB=0，
當(dāng)直線存在斜率時(shí)，設(shè)斜率為k，則
直線l的方程為y=kx+

3

，
即kx-y+

3

=0，
∴圓心到直線的距離d=

3

k2+1

，
|AB|=2

r2-d2

=2

4-d2

，
∵S_△OAB=

1

2

|AB|•d
=

4-d2

•d
=

(4-d2)d2

≤

4-d2+d2

2

=2，
∴△OAB面積的最大值是2．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．