Question

（1）已知函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x²-2x-3，求f（x）的解析式．
（2）已知奇函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇-3，3]，且在區(qū)間[-3，0]內(nèi)遞增，求滿足f（2m-1）+f（m²-2）＜0的實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，由已知表達(dá)式可求得f（-x），根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可求得f（x）與f（-x）的關(guān)系，由f（-0）=-f（0），可得f（0），從而可求f（x）解析式；
（2）由f（x）在[-3，0]內(nèi)的單調(diào)性及奇函數(shù)性質(zhì)可判斷f（x）在定義域?yàn)閇-3，3]內(nèi)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性、奇偶性可去掉不等式中的符號(hào)“f”，注意函數(shù)定義域．

解答：解：（1）當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，f（-x）=（-x）²-2（-x）-3=x²+2x-3，
又f（x）為奇函數(shù)，所以f（x）=-f（-x）=-（x²+2x-3）=-x²-2x+3，
而f（-0）=-f（0），即f（0）=0，
所以f（x）=

x2-2x-3，x＞0 0，x=0 -x2-2x+3，x＜0

．
（2）因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，且在[-3，0]內(nèi)遞增，所以在[0，3]內(nèi)也遞增，
所以f（x）在定義域[-3，3]內(nèi)遞增，
f（2m-1）+f（m²-2）＜0，可化為f（m²-2）＜-f（2m-1），
由f（x）為奇函數(shù)，得f（m²-2）＜f（1-2m），
又f（x）在定義域[-3，3]內(nèi)遞增，
所以

m2-2＜1-2m -3≤m2-2≤3 -3≤2m-1≤3

，解得-1≤m＜1．
故滿足f（2m-1）+f（m²-2）＜0的實(shí)數(shù)m的取值范圍為：[-1，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性及其應(yīng)用，考查抽象不等式的解法，考查學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力．