Question

拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，經(jīng)過F且斜率為

3

的直線與拋物線在x軸上方部分相交于點(diǎn)A，則AF=

4

．

Answer 1

分析：過點(diǎn)A作AB⊥l于點(diǎn)B，作AP⊥x軸于點(diǎn)P．設(shè)A（m，n），可得|AF|=|AB|=m+1且|PF|=m-1，Rt△APF中求出∠AFP=60°，利用解直角三角形建立關(guān)于m的方程解出m=3，即可得到AF的長．

解答：解：拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線為l：x=-1．
過點(diǎn)A作AB⊥l于點(diǎn)B，作AP⊥x軸于點(diǎn)P，
∵AF的斜率為

3

，∴AF的傾斜角∠AFP=60°，
可得Rt△APF中，|PF|=|AF|cos∠AFP=

1

2

|AF|，
設(shè)A（m，n），由拋物線的定義得|AF|=|AB|=m+1，
∴|PF|=m-1=

1

2

|AF|，即m-1=

1

2

（m+1），解之得m=4，
由此可得|AF|=m+1=4
故答案為：4

點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線的一條焦半徑的傾斜角等于60°，求它的長度．著重考查了拋物線的定義與簡單幾何性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，屬于中檔題．