Question

設(shè)雙曲線C：

x2

a2

-y2=1（a＞0）與直線l：x+y=1相交于兩個不同的點A、B．
（1）求雙曲線C的離心率e的取值范圍：
（2）設(shè)直線l與y軸的交點為P，且P分有向線段

AB

的比為-

5

12

，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析：（1）由C與l相交于兩個不同的點，故聯(lián)立直線與雙曲線方程后所得的方程組有兩個不同的實數(shù)解，進(jìn)而可得a的取值范圍，代入e=

c

a

=

a2+b2

a

可得雙曲線C的離心率e的取值范圍：
（2）由P分有向線段

AB

的比為-

5

12

，可得

PA

=

5

12

PB

，設(shè)出A，B兩點坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理構(gòu)造關(guān)于a的方程，解方程可得a的值．

解答：解：（1）由C與l相交于兩個不同的點，故知方程組

x2 a2 -y2=1 x+y=1.

有兩個不同的實數(shù)解．消去y并整理得
（1-a²）x²+2a²x-2a²=0．①…（2分）
所以

1-a2≠0. 4a4+8a2(1-a2)＞0.

解得0＜a＜

2

且a≠1．…..（5分）
∵雙曲線的離心率e=

c

a

=

a2+b2

a

=

a2+1

a

=

1 a2 +1

0＜a＜

2

且a≠1，
∴e＞

6

2

且e≠

2

…（8分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（0，1）
∵P分有向線段

AB

的比為-

5

12

∴

PA

=

5

12

PB

，
∴(x1，y1-1)=

5

12

(x2，y2-1)．由此得x1=

5

12

x2…．（9分）
由于x₁，x₂都是方程①的根，且1-a²≠0，
∴x1+x2=-

2a2

1-a2

，x1x2=-

2a2

1-a2

…（10分）
∴

17

12

x2=-

2a2

1-a2

，

5

12

x

2 2

=-

2a2

1-a2

消去x₂得：-

2a2

1-a2

=

289

60

又∵a＞0
解得a=

17

13

…..（15分）

點評：本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的綜合問題，雙曲線的簡單性質(zhì)，是高考的壓軸題型，運(yùn)算量大，綜合的知識點多，難度較大．