Question

（理）設雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為e，若準線l與兩條漸近線相交于P、Q兩點，F為右焦點，△FPQ為等邊三角形．
（1）求雙曲線C的離心率e的值；
（2）若雙曲線C被直線y=ax+b截得的弦長為

b2e2

a

求雙曲線c的方程．

Answer 1

分析：（1）根據雙曲線方程可知，雙曲線C的右準線l的方程為：x=

a2

c

，兩條漸近線方程為：y=±

b

a

x，從而可得兩交點坐標，根據△PFQ為等邊三角形，則有|MF|=

3

2

|PQ|，從而可建立方程c-

a2

c

=

3

2

•(

ab

c

+

ab

c

)，利用c²-a²=b²，即可求得雙曲線C的離心率e的值；
（2）由（1）得雙曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

3a2

=1．把y=ax+

3

a代入得(a2-3)x2+2

3

a2x+6a2=0．
利用韋達定理及弦長公式l=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

，可求弦長，利用雙曲線C被直線y=ax+b截得的弦長為

b2e2

a

，建立方程，可求a²的值，從而得到雙曲線C的方程．

解答：解：（1）雙曲線C的右準線l的方程為：x=

a2

c

，兩條漸近線方程為：y=±

b

a

x．
∴兩交點坐標為　P(

a2

c

，

ab

c

)、Q(

a2

c

，-

ab

c

)．
設M為PQ與x軸的交點
∵△PFQ為等邊三角形，則有|MF|=

3

2

|PQ|（如圖）．
∴c-

a2

c

=

3

2

•(

ab

c

+

ab

c

)，即

c2-a2

c

=

3 ab

c

．
解得　b=

3

a，c=2a．
∴e=

c

a

=2．
（2）由（1）得雙曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

3a2

=1．直線方程為y=ax+

3

a
把y=ax+

3

a代入得(a2-3)x2+2

3

a2x+6a2=0．
依題意　

a2-3≠0 △=12a4-24(a2-3)a2＞0

∴a²＜6，且a²≠3．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴x1+x2=

2 3 a2

3-a2

，x1x2=

6a2

a2-3

∴雙曲線C被直線y=ax+b截得的弦長為l=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+a2)(x1-x2)2

=

(1+a2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+a2) 12a4-24(a2-1)a2 (a2-3)2

∵l=

b2e2

a

=12a．
∴144a2=(1+a2)•

72a2-12a4

(a2-3)2

．
整理得　13a⁴-77a²+102=0．
∴a²=2或a2=

51

13

．
∴雙曲線C的方程為：

x2

2

-

y2

6

=1或

13x2

51

-

13y2

153

=1．

點評：本題以雙曲線的性質為載體，考查雙曲線的標準方程，考查雙曲線的離心率，考查直線與雙曲線的位置關系，解題的關鍵是利用韋達定理求弦長