Question

【題目】(本小題滿分12分) 函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),已知當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=x2+4x+3.

（1）求函數(shù)f(x)的解析式;

（2）畫出函數(shù)的圖象，并寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

（3）求f(x)在區(qū)間[-1,2]上的值

Answer 1

【答案】(1) (2)詳見解析（3）

【解析】試題分析：（1）設(shè)，則，利用當(dāng)時(shí)， ，結(jié)合函數(shù)為偶函數(shù)，即可求得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)圖象，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，求出函數(shù) 的最值，從而可得函數(shù)在區(qū)間上的值域.

試題解析：(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),所以對任意的x∈R都有f(-x)=f(x)成立,

所以當(dāng)x>0時(shí),-x<0,即f(x)=f(-x)=(-x)2+4(-x)+3=x2-4x+3,

所以f(x)=

（2）

函數(shù)圖象如圖，由圖知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-2,0]和[2,+∞). 單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞, -2]和[0，2] .

（3）由②知函數(shù)f(x)在[-1,0]上單調(diào)遞增,所以f(-1)≤f(x)≤f(0),

即0≤f(x)≤3;在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減,

所以f(2)≤f(x)≤f(0),即-1≤f(x)≤3,

所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上的值域?yàn)閇-1,3].

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的解析式、函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用比較廣泛，是每年高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容．歸納起來，常見的命題探究角度有：（1）求函數(shù)的值域或最值；（2）比較兩個(gè)函數(shù)值或兩個(gè)自變量的大��；（3）解函數(shù)不等式；（4）求參數(shù)的取值范圍或值．