設(shè)是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列, 是等差數(shù)列,且，

(1)求,的通項(xiàng)公式；

(2)記的前項(xiàng)和為，求證：；

(3)若均為正整數(shù),且記所有可能乘積的和，求證：．

 

【答案】

（1） （2）證法一：放縮法；

（2）證法二： 應(yīng)用

（3）證法一：錯(cuò)位相減法；證法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明。

【解析】

試題分析：（1）設(shè)的公比為的公差為，則     2分

解得所以        5分

（2）證法一：由題意得                 6分

                8分

所以         9分

（2）證法二：由題意得              6分

，當(dāng)時(shí)

且也成立，               8分

所以              9分

（3）證法一：由題意

  11分

令

以上兩式相減得 13分

又，所以             14分

證法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明。

（1）當(dāng)時(shí)，所以結(jié)論成立。       10分

（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即。       11分

當(dāng)時(shí)，

，所以當(dāng)時(shí)也成立               13分

綜合（1）、（2）知對(duì)任意都成立           14分

考點(diǎn)：本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，“錯(cuò)位相減法”，數(shù)學(xué)歸納法。

點(diǎn)評(píng)：典型題，本題綜合性較強(qiáng)，處理的方法多樣。涉及數(shù)列不等式的證明問題，提供了“錯(cuò)位相減求和、放縮、證明”和“數(shù)學(xué)歸納法”等證明方法，能拓寬學(xué)生的視野。

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•重慶一模）設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意n∈N*，2
Sn
是an+2 和an的等比中項(xiàng)．
（Ⅰ）證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
＜1；
（Ⅲ）設(shè)集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使對(duì)滿足n＞m 的一切正整數(shù)n，不等式2Sn-4200＞
an2
2
恒成立，求這樣的正整數(shù)m共有多少個(gè)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011屆重慶市七區(qū)高三第一次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

（本小題滿分1２分）
設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，已知對(duì)任意，是和的等比中項(xiàng)．
（Ⅰ）證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明；
（Ⅲ）設(shè)集合，，且，若存在∈，使對(duì)滿足的一切正整數(shù)，不等式恒成立，求這樣的正整數(shù)共有多少個(gè)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年重慶市七區(qū)高三第一次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

（本小題滿分1２分）

設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，已知對(duì)任意，是 和的等比中項(xiàng)．

（Ⅰ）證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）證明；

（Ⅲ）設(shè)集合，，且，若存在∈，使對(duì)滿足 的一切正整數(shù)，不等式恒成立，求這樣的正整數(shù)共有多少個(gè)？

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：江蘇省月考題 題型：解答題

設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意n∈N*，2是an+2 和an的等比中項(xiàng)．
（Ⅰ）證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明++…+＜1；
（Ⅲ）設(shè)集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使對(duì)滿足n＞m 的一切正整數(shù)n，不等式2Sn﹣4200＞恒成立，求這樣的正整數(shù)m共有多少個(gè)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，已知對(duì)任意，是 和的等比中項(xiàng)．

（Ⅰ）證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）證明；＜1

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