Question

設(shè)函數(shù)f（x）=kx²-kx-6+k．
（1）若對(duì)于k∈[-2，2]，f（x）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．
（2）若對(duì)于x∈[1，2]，f（x）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對(duì)于k∈[-2，2]，f（x）＜0恒成立，變更主元k（x²-x+1）-6=g（k），可得

g(2)=2x2-2x-4＜0 g(-2)=-2x2+2x-8＜0

，解此不等式組即可求得結(jié)果；
（2）法1：要使f（x）=k（x²-x+1）-6＜0在x∈[1，2]上恒成立，則只須k＜

6

x2-x+1

在x∈[1，2]上恒成立；求得

6

x2-x+1

的最小值即可；
法2：配方，分類(lèi)討論∴

k＞0 f(x)max=f(2)=3k-6＜0

或

k＜0 f(x)max=f(1)=k-6＜0

或

k=0 f(x)=-6＜0

，即可求得結(jié)果．

解答：解：（1）設(shè)f（x）=k（x²-x+1）-6=g（k），
則g（k）是關(guān)于k的一次函數(shù)，且一次項(xiàng)系數(shù)為x²-x+1…（2分）
法1、∵x2-x+1=(x-

1

2

)2+

3

4

＞0∴g（k）在[-2，2]上遞增．…（4分）
∴g（k）＜0?g（2）=2（x²-x+1）-6＜0∴解得x的取值范圍為：-1＜x＜2…（6分）
法2、依題只須

g(2)=2x2-2x-4＜0 g(-2)=-2x2+2x-8＜0

?

-1＜x＜2 x2-x+4＞0(恒成立)

∴-1＜x＜2
（2）法1、要使f（x）=k（x²-x+1）-6＜0在x∈[1，2]上恒成立
則只須k＜

6

x2-x+1

在x∈[1，2]上恒成立；…（8分）
而當(dāng)x∈[1，2]時(shí)：

6

x2-x+1

=

6

(x- 1 2 )2+ 3 4

≥

6

22-2+1

=2…（10分）
∴k＜2…（12分）
法2、∵f(x)=k(x-

1

2

)2+

3

4

k-6＜0在x∈[1，2]上恒成立
∴

k＞0 f(x)max=f(2)=3k-6＜0

或

k＜0 f(x)max=f(1)=k-6＜0

或

k=0 f(x)=-6＜0

綜上解得：k＜2

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題時(shí)要抓住二次函數(shù)與x軸無(wú)交點(diǎn)的特點(diǎn)進(jìn)行求解．主要考查了二次函數(shù)的恒成立問(wèn)題．二次函數(shù)的恒成立問(wèn)題分兩類(lèi)，一是大于0恒成立須滿足開(kāi)口向上，且判別式小于0，二是小于0恒成立須滿足開(kāi)口向下，且判別式小于0．屬中檔題．