Question

已知函數(shù)f(x)=

2x+3

x+1

    (x≠-1)．
（1）求函數(shù)f （ x ）的值域；
（2）求函數(shù)f （ x ）的反函數(shù)f^-1（x）；
（3）證明：f^-1（x）在（2，+∞）上為減函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）將函數(shù)f(x)=

2x+3

x+1

  的解析式化為f （ x ）=2+

1

x+1

    ，根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可求出函數(shù)f （ x ）的值域；
（2）先將函數(shù)f （ x ）進(jìn)行變形成用y表示x的形式，可得函數(shù)f （ x ）的反函數(shù)f^-1（x）；
（3）結(jié)合（2）中所得反函數(shù)f^-1（x）的解析式，任取區(qū)間（2，+∞）上兩個(gè)實(shí)數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂，判斷f（x₁）-f（x₂）的符號(hào)，然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，可得結(jié)論．

解答：解：（1）函數(shù)f(x)=

2x+3

x+1

  =2+

1

x+1

    
∵

1

x+1

≠0    
∴函數(shù)f （ x ）≠2
故函數(shù)f （ x ）的值域?yàn)椋?∞，2）∪（2，+∞）
（2）∵y=f(x)=

2x+3

x+1

  =2+

1

x+1

    
∴y-2=

1

x+1

    
∴x+1=

1

y-2

∴x=

1

y-2

-1（y≠2）
即f^-1（x）=

1

x-2

-1（x≠2）
證明；（3）任取區(qū)間（2，+∞）上兩個(gè)實(shí)數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則x₁-2＞0，x₂-2＞，x₂-x₁＞0
則f（x₁）-f（x₂）=（

1

x1-2

-1）-（

1

x2-2

-1）
=

1

x1-2

-

1

x2-2

=

x2-x1

(x1-2)•(x2-2)

＞0
即f（x₁）＞f（x₂）
即f^-1（x）在（2，+∞）上為減函數(shù)

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的值域，反函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，其中（1）要熟練掌握求函數(shù)值域的方法--分離常數(shù)法，（2）要掌握求反比例函數(shù)的方法和步驟，解答中易忽略反函數(shù)的定義域，（3）要掌握利用定義法（作差法）證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟．