Question

已知函數(shù)f(x)=x|x-a|+2x-3

(1)當(dāng)a=4，2≤x≤5時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值；(2)當(dāng)xÎ[1,2]時(shí)，f(x)≤2x-2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

(1)當(dāng)a=4時(shí)，f(x)=x|x-4|+2x-3；①當(dāng)2≤x＜4時(shí)，f(x)=x(4-x)+2x-3=-x²+6x-3，

當(dāng)x=2時(shí)，f(x)_min=5；當(dāng)x=3時(shí)，f(x)_max=6               2分②當(dāng)4≤x≤5時(shí)，f(x)=x(x-4)+2x-3=x²-2x-3＝(x-1)²-4，當(dāng)x=4時(shí)，f(x)_min=5；當(dāng)x=5時(shí)，f(x)_max=12               4分

綜上可知，函數(shù)f(x)的最大值為12，最小值為5．            6分

(2)若x≥a,原不等式化為f(x)= x²-ax≤1，即a≥x-在xÎ[1,2]上恒成立，∴a≥(x-)_max，即a≥．    若x＜a,原不等式化為f(x)=-x²+ax≤1，即a≤x+在xÎ[1,2]上恒成立，∴a≤(x-)_min，即a≤2．   10分

綜上可知，a的取值范圍為≤a≤2．   12分