Question

設a＞0，求函數(shù)f（x）=

x

-ln（x+a）（x∈（0，+∞））的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：由題意函數(shù)f（x）=

x

-ln（x+a），首先求出函數(shù)的導數(shù)，然后根據(jù)導數(shù)與函數(shù)單調(diào)區(qū)間的關系對a的大小進行分類討論．

解答：解：由題意得f′(x)=

1

2 x

-

1

x+a

(x＞0)，
令f′（x）=0，
即x²+（2a-4）x+a²=0，
（i）當a＞1時，
對所有x＞0，有x²+（2a-4）+a²＞0．
即f′（x）＞0，
此時f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；

（ii）當a=1時，
對x≠1，有x²+（2a-4）x+a²＞0，
即f′（x）＞0，
此時f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，且在（1，+∞）內(nèi)也單調(diào)遞增，
又知函數(shù)f（x）在x=1處連續(xù)，
因此，函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；

（iii）當0＜a＜1時，
令f′（x）＞0，
即x²+（2a-4）x+a²＞0，
解得x＜2-a-2

1-a

或x＞2-a+2

1-a

，
因此，函數(shù)f（x）在區(qū)間(0，2-a-2

1-a

)，(2-a+2

1-a

，+∞)內(nèi)也單調(diào)遞增．
令f′（x）＜0，
即x²+（2a-4）x+a²＜0，
解得2-a-2

1-a

＜x＜2-a+2

1-a

，
因此，函數(shù)f（x）在區(qū)間(2-a-2

1-a

，2-a+2

1-a

)內(nèi)單調(diào)遞減．

點評：本題主要考查導數(shù)的概念和計算，應用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法及推理和運算能力．