已知函數(shù)f(x)=x3-3ax2+b(a∈R,b∈R).
(I) 設(shè)a>0,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ) 設(shè)a=-1,若方程f(x)=0在[-2,2]上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解,求b的取值范圍.
分析:(I)先求導(dǎo)數(shù)fˊ(x)然后在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0,fˊ(x)>0的區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間,fˊ(x)<0的區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間.
(II)由函數(shù)零點(diǎn)的存在定理,我們可以將區(qū)間[-2,2]分為區(qū)間(-2,0)和(0,2)兩種情況進(jìn)行分類(lèi)討論,最后綜合討論結(jié)果,即可得到f(x)=0在區(qū)間[-2,2]有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)b的取值范圍可得
解答:解:( I)f'(x)=3x2-6ax=3x(x-2a),…(2分)
因?yàn)閍>0,所以2a>0
當(dāng)x變化時(shí),f(x),f'(x)的變化情況如下表:
精英家教網(wǎng)
當(dāng)x>2a或x<0時(shí),f'(x)>0;當(dāng)0<x<2a時(shí),f'(x)<0.
所以,當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,0)和(2a,+∞),
單調(diào)遞減區(qū)間是(0,2a).…(6分)
( II)f(x)=x3+3x2+b,f'(x)=3x2+6x=3x(x+2),x∈[-2,2]
當(dāng)x變化時(shí),f(x),f'(x)的變化情況如下表:
x -2 (-2,0) 0 (0,2) 2
f'(x) - 0 +
f(x) b+4 遞減 極小值b 遞增 b+20
…(8分)
因?yàn)榉匠蘤(x)=0在區(qū)間[-2,2]有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解,而b+4<b+20,
所以b=0,…(10分)
b+4<0
b+20≥0.

所以方程f(x)=0在區(qū)間[-2,2]有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解時(shí),b的取值范圍是b=0或-20≤b<-4.…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟是:(1)確定函數(shù)的定義域;(2)求導(dǎo)數(shù)fˊ(x);(3)在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0;(4)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.若在函數(shù)式中含字母系數(shù),往往要分類(lèi)討論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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