Question

若不等式|a-1|＞

1

1×2×3

+

1

2×3×4

+…+

1

n(n+1)(n+2)

對一切n∈N₊恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,數(shù)列的求和

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：利用裂項法求和，進(jìn)而可得不等式，即可求出實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：

1

n(n+1)(n+2)

=

1

2

[

1

n(n+1)

-

1

(n+1)(n+2)

]=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

）-

1

2

（

1

n+1

-

1

n+2

），
∴

1

1×2×3

+

1

2×3×4

+…+

1

n(n+1)(n+2)

=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）-

1

2

（

1

2

-

1

3

+…+

1

n+1

-

1

n+2

）
=

1

2

（1-

1

n+1

）-

1

2

（

1

2

-

1

n+2

）=

1

2

（

1

2

-

1

n+1

+

1

n+2

）≤

1

6

，
∵不等式|a-1|＞

1

1×2×3

+

1

2×3×4

+…+

1

n(n+1)(n+2)

對一切n∈N₊恒成立，
∴|a-1|＞

1

6

，
∴a＜

5

6

或a＞

7

6

．
故答案為：a＜

5

6

或a＞

7

6

．

點評：本題考查函數(shù)恒成立問題，考查數(shù)列的求和，正確裂項是關(guān)鍵．