Question

已知0＜a＜b，且a+b=1，下列不等式中，一定成立的是（　�。�
①log₂a＞-1；②log₂a+log₂b＞-2；③log₂（b-a）＜0；④log₂（

b

a

+

a

b

）＞1．

• A、①②
• B、②③
• C、③④
• D、①④

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用對數(shù)性質(zhì)、均值定理、函數(shù)性質(zhì)和特值法求解．

解答： 解：∵0＜a＜b，且a+b=1，
∴當(dāng)a=

1

3

，b=

2

3

時(shí)，log₂a=log2

1

3

＜log2

1

2

=-1，故①錯(cuò)誤；
∵0＜a＜b，且a+b=1，
∴1=a+b＞2

ab

，即ab＜

1

4

，
∴l(xiāng)og₂a+log₂b＜log₂

1

4

=-2，故②錯(cuò)誤；
∵0＜a＜b，且a+b=1，
∴0＜b-a＜1，
∴l(xiāng)og₂（b-a）＜log₂1=0，故③正確；
∵0＜a＜b，且a+b=1，∴

b

a

+

a

b

＞2

b a • a b

=2，
∴l(xiāng)og₂（

b

a

+

a

b

）＞log₂2=1，故④正確．
故選：C．

點(diǎn)評：本題考查命題真假的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意對數(shù)性質(zhì)和運(yùn)算法則的合理運(yùn)用．