若定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=f(x)對(duì)于區(qū)間D上任意x1,x2都有不等式
1
2
[f(x1)+f(x2)]≤f(
x1+x2
2
)
成立,則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上的凸函數(shù).
(I)證明:定義在R上的二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a<0)是凸函數(shù);
(II)對(duì)(I)的函數(shù)y=f(x),若|f(1)|≤1,|f(2)|≤2,|f(3)|≤3,求|f(4)|取得最大值時(shí)函數(shù)y=f(x)的解析式;
(III)定義在R上的任意凸函數(shù)y=f(x),當(dāng)q,p,m,n∈N*且p<m<n<q,p+q=m+n,證明:f(p)+f(q)≤f(m)+f(n).
分析:(I)利用凸函數(shù)的定義,驗(yàn)證函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a<0)滿(mǎn)足不等式
1
2
[f(x1)+f(x2)]≤f(
x1+x2
2
)
成立.
(II)根據(jù)已知條件得到a,b,c滿(mǎn)足的不等式,將f(4)用f(1),f(2),f(3)表示,從而得到f(4)取最大值時(shí)a,b,d 值.
(III)結(jié)合凸函數(shù)的定義以及梯形的中位線公式得到要證的不等式.
解答:解:(I)證明:對(duì)任意x1,x2∈R,當(dāng)a<0,
有[f(x1)+f(x2)]-2f(
x1+x2
2
)=ax12+bx1+c+ax22+bx2+c-2[a(
x1+x2
2
2+b(
x1+x2
2
)+c]=ax12+ax22-
1
2
a(x12+x22+2x1x2)=
1
2
a(x1-x22             (3分)
∴當(dāng)a<0時(shí),f(x1)+f(x2)≤2f(
x1+x2
2
),即
f(x1)+f(x2)
2
≤f(
x1+x2
2

當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)f(x)是凸函數(shù).
(2)因?yàn)閨f(1)|≤1,|f(2)|≤2,|f(3)|≤3,
所以
-1≤a+b+c≤1
-2≤4a+2b+c≤2
-3≤9a+3b+c≤3

又f(4)=16a+4b+c
設(shè)16a+4b+c=x(a+b+c)+y(4a+2b+c)+z(9a+3b+c)
所以
x+4y+9z=16
x+2y+3z=4
x+y+z=1

解得x=1,y=-3,z=3
所以f(4)=f(1)-3f(2)+3f(3)
所以-16≤f(4)≤16
所以f(4)的最大值為16
當(dāng)
a+b+c=1
4a+2b+c=-2
9a+3b+c=3
取得
解得a=4,b=-15,c=12,
(III)因?yàn)閜<m<n<q,p+q=m+n,y=f(x)為凸函數(shù),
所以f(p)+f(q)≤2f(p+q)=2f(m+n)
f(m)+f(n))≤2f(m+n)
因?yàn)閥=f(x)為凸函數(shù),
所以f(p)+f(q)≤f(m)+f(n).
點(diǎn)評(píng):本題是一定新定義的題,考查了不等式的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)的定義域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2+
2
x
+alnx(x>0)
,
(Ⅰ) 若f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,求a的取值范圍;
(Ⅱ)若定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=f(x)對(duì)于區(qū)間D上的任意兩個(gè)值x1、x2總有以下不等式
1
2
[f(x1)+f(x2)]≥f(
x1+x2
2
)
成立,則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)為區(qū)間D上的“凹函 數(shù)”.試證當(dāng)a≤0時(shí),f(x)為“凹函數(shù)”.

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1
2
[f(x1)+f(x2)]≥f(
x1+x2
2
)
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已知函數(shù)

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(Ⅱ)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(Ⅲ)若定義在區(qū)間D上的函數(shù)對(duì)于區(qū)間D上的任意兩個(gè)值x1、x2總有以下不等式成立,則稱(chēng)函數(shù)為區(qū)間D上的“凹函數(shù)”.若函

 

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已知函數(shù),
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