Question

如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，且，

，，，點、、分別為、、的中點．

（1）求證：平面；

（2）求證：；

（3）求二面角的余弦值.

 

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）連接，利用中位線得到，然后再利用直線與平面平行的判定定理證明平面；（2）證法一是建立以點為原點，以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法證明；證法二：先證明，于是得到，于是得到，再證明平面，從而得到，最后利用直線與平面垂直的判定定理證明平面，從而得到；證法三是，得到，于是得到，再證明平面，從而得到，最后利用直線與平面垂直的判定定理證明平面，從而得到；（3）解法一是建立以點為原點，以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量法求二面角的余弦值；解法二是過作交于點，過作交于，連接，先利用平面，于是說明為二面角的平面角，然后在直角，然后在直角中求的值.

（1）證明：連接，是的中點 ，過點，

為的中點，，

又面，面，平面；

（2）證法一：在直角中，，，，

棱柱的側(cè)棱與底面垂直，且，以點為原點，以所在的直線為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系如圖示，則

，，，，，

，，

，；

證法二：連接，在直角中，，，，

，，

，，

即，

，，且，

平面，，又，故平面，

平面，；

證法三：連接，在直角中，，，，

設(shè)，，，

，即，

，，且，平面,

，又，故平面，

平面，；

（3）解法一：棱柱的側(cè)棱與底面垂直，且，

以點為原點，以所在的直線為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

依題意得，，，，，，，

設(shè)面的一個法向量為，

由，得，令，得，

同理可得面的一個法向量為，

故二面角的平面角的余弦值為，

解法二：過作交于點，過作交于，連接，

平面底面，平面，

，平面，，

故為二面角的平面角，

在中，，，

，，

又，故，.

考點：1.直線與平面平行；2.直線與直線垂直；3.二面角的求解；4.空間向量法；5.三垂線法