Question

（本小題滿分12分）

如圖5，在圓錐中，已知=，⊙O的直徑,是的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：平面 平面;

（Ⅱ）求二面角的余弦值。

Answer 1

解法1：連結(jié)OC，因?yàn)?sub>

又底面⊙O，AC底面⊙O，所以，

因?yàn)镺D，PO是平面POD內(nèi)的兩條相交直線，所以平面POD，

而平面PAC，所以平面POD平面PAC。

（II）在平面POD中，過O作于H，由（I）知，平面

_{所以平面PAC，又面PAC，所以}

_{在平面PAO中，過O作于G，}

    連接HG，

則有平面OGH，

從而，故為二面角B—PA—C的平面角。

在

在

在

在

所以

故二面角B—PA—C的余弦值為

解法2：（I）如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OC、OP所在直線分別為x軸、y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

，

設(shè)是平面POD的一個(gè)法向量，

則由，得

所以

設(shè)是平面PAC的一個(gè)法向量，

則由，

得

所以

得。

因?yàn)?sub>

所以從而平面平面PAC。

（II）因?yàn)閥軸平面PAB，所以平面PAB的一個(gè)法向量為

由（I）知，平面PAC的一個(gè)法向量為

設(shè)向量的夾角為，則

由圖可知，二面角B—PA—C的平面角與相等，

所以二面角B—PA—C的余弦值為