Question

如圖：正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，E，F分別是棱A₁B₁，CD的中點，點M是EF的動點，FM=x，過點M、直線AB的平面將正方體分成上下兩部分，記下面那部分的體積為V（x），則函數V（x）的大致圖象是（　�。�

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考點：函數的圖象

專題：函數思想

分析：本題關鍵是理解，體積V（x）的變化是隨變x的變化而怎樣變化的，可以找列出V關于x的關系式，利用相似比就可以找到它們的關系，從而得到答案，當然此題也可以從體積的變化快慢來理解得到答案．

解答： 解：如圖：（1）當0＜x＜

2

2

時，過點M、直線AB作平面交CC₁，DD₁于點P、Q，則四邊形ABPQ為矩形，
此時，截面下面那部分是三棱矩ADQ-BCP，
∵FM=CM₁=x，如圖：B₁C=

2

，△BB₁M₁∽△PM₁C，由相似比得，

CP

BB1

=

MC

B1M

，

CP

1

=

x

2 -x

，∴CP=

x

2 -x

，
∴三棱矩ADQ-BCP的體積V（x）=S_△BCP•AB=

1

2

×

x

2 -x

×1×1=

x

2( 2 -x)

；
（2）當

2

2

＜x＜

2

時，過點M、直線AB作平面交B₁C₁，A₁D₁于點P、Q，則四邊形ABPQ為矩形，
此時，截面下面那部分是四棱矩ADQA₁-BCPB₁，
∵FM=x，由相似比知C₁P=

2x- 2

x

，
∴四棱矩ADQA₁-BCPB₁的體積V（x）=

1

2

(

2x- 2

x

+1)×1×1=

3x- 2

2x

．
∴V（X）=

x 2( 2 -x)  (0＜x≤ 2 2 ) 3x- 2 2x  ( 2 2 ＜x＜ 2 )

．
由解析式，知V（x）的圖象為C．
故選：C．

點評：本題考查空間相象能力，函數思想，關鍵是要求理解變量與變量之間的關系．屬于較難題．