已知M是△ABC內(nèi)的一點，且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=
π
6
，若△MBC，△MCA，△MAB的面積分別為
1
2
，x，y，則
1
x
+
4
y
的最小值為（　�。�
A、16B、18C、20D、24
考點：基本不等式,平面向量數(shù)量積的運算
專題：不等式的解法及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用
分析：由
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=
π
6
，利用數(shù)量積運算可得|
AB
| |
AC
|cos
π
6
=2
3
，即bc=4．利用三角形的面積計算公式可得S△ABC=
1
2
bcsin
π
6
=1．已知△MBC，△MCA，△MAB的面積分別為
1
2
，x，y．可得
1
2
+x+y=1，化為x+y=
1
2
．再利用基本不等式
1
x
+
4
y
=2(x+y)(
1
x
+
4
y
)=2(5+
y
x
+
4x
y
)即可得出．
解答： 解：∵
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=
π
6
，
∴|
AB
| |
AC
|cos
π
6
=2
3
，∴bc=4．
∴S△ABC=
1
2
bcsin
π
6
=
1
4
bc=1．
∵△MBC，△MCA，△MAB的面積分別為
1
2
，x，y．
∴
1
2
+x+y=1，化為x+y=
1
2
．
∴
1
x
+
4
y
=2(x+y)(
1
x
+
4
y
)=2(5+
y
x
+
4x
y
)≥2(5+2
y
x
•
4x
y
)=18，當且僅當y=2x=
1
3
時取等號．
故
1
x
+
4
y
的最小值為18．
故選：B．
點評：本題考查了數(shù)量積運算、三角形的面積計算公式、基本不等式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知復數(shù)z=1+
1-i
1+i
，則|
.
z
|=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

從3001名學生中選取50名組成參觀團，現(xiàn)采用下面的方法選�。合扔煤唵坞S機抽樣從 3001人中剔除1人，剩下的3000人再按系統(tǒng)抽樣的方法進行，則每個人被選到的機會（　�。�
A、不全相等B、均不相等
C、無法確定D、都相等

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在[-2，3]上隨機取一個數(shù)x，則（x+1）（x-3）≤0的概率為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

奇函數(shù)f（x）在[-2，2]是增函數(shù)，且f（-2）=-1，若函數(shù)f（x）≤t2-2at-1對所有的x∈[-2，2]，a∈[-1，1]都成立，求實數(shù)t的取值范圍（　　）
A、-1≤t≤1
B、-2≤t≤2
C、t≤-2或t≥2
D、t≤-2或t=0或t≥2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知sinθ+cosθ=
1
5
，θ∈（0，π），則sinθ-cosθ的值是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，a2tanB=b2tanA，則△ABC是__________（　�。�
A、等腰或直角三角形
B、等腰三角形
C、等腰直角三角形
D、直角三角形

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知{
i
，
j
，
k
}是單位正交基底，
a
=-3
i
+4
j
-
k
，
a
-
b
=-8
i
+16
j
-3
k
，那么
a
•
b
=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

證明：（Ⅰ）若a＞b＞c＞d＞0且a+d=b+c，求證：
d
+
a
＜
b
+
c
．
（Ⅱ）已知a、b、c、d∈R，且a+b=c+d=1，ac+bd＞1，求證：a、b、c、d中至少有一個是負數(shù)．

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