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【題目】已知函數，且.

（1）討論函數的單調性；

（2）若，求證：函數有且只有一個零點.

【答案】（1）見解析;（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）通過導函數當和時的正負來確定原函數的增減區(qū)間；

(2) 通過證明函數單調并且猜出函數的一個根，從而證明函數有且只有一個零點.

試題解析：

（1），，

當時，，則在上單調遞增；

當時，由得，由得，

即在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增.

（2）證明：由已知得，則，

設，則 ，

故為上的增函數，

又由于，因此且有唯一零點1，

當時，；當時，.

在上為減函數，在上為增函數，

函數有且只有一個零點.

點晴:本題主要考查導數在解決函數中的應用. 解答此類問題，應該首先確定函數的定義域，否則，寫出的單調區(qū)間易出錯. 解決含參數問題及不等式問題注意兩個轉化：(1)利用導數解決含有參數的單調性問題可將問題轉化為含參不等式的求解問題，要注意分類討論和數形結合思想的應用．(2)函數有且只有一個零點通常是證明函數單調并且猜出函數的一個根，從而證明函數有且只有一個零點.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此做了四次試驗，得到的數據如下表所示：

零件的個數x/個

2

3

4

5

加工的時間y/h

2.5

3

4

4.5

(1)在給定的坐標系中畫出表中數據的散點圖；

(2)求出y關于x的線性回歸方程，并在坐標系中畫出回歸直線；

(3)試預測加工10個零件需要多少時間．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數（）．

（1）判斷函數在和的單調性，并用定義證明在上的單調性；

（2）若函數是定義域為的偶函數，且時， ，

①當時，寫出的表達式；

②若函數有四個零點，寫出的取值范圍（不需要說明理由）．

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【題目】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分別是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中點.求證：

(1)直線BC1∥平面EFPQ.

(2)直線AC1⊥平面PQMN.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某企業(yè)通過調查問卷（滿分50分）的形式對本企業(yè)900名員工的工作滿意度進行調查，并隨機抽取了其中30名員工（其中16名女員工，14名男員工）的得分，如下表：

女

47 36 32 48 34 44 43 47 46 41 43 42 50 43 35 49

男

37 35 34 43 46 36 38 40 39 32 48 33 40 34

（Ⅰ）現求得這30名員工的平均得分為40.5分，若規(guī)定大于平均得分為“滿意”，否則為“不滿意”，請完成下列表格：

“滿意”的人數

“不滿意”的人數

合計

女

16

男

14

合計

30

（Ⅱ）根據上述表中數據，利用獨立性檢驗的方法判斷，能否在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為該企業(yè)員工“性別”與“工作是否滿意”有關？

參考數據：

0.10

0.050

0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

參考公式：

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】.如圖，在三棱錐V-ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA=VB，AD=BD，則下列結論中不一定成立的是　(　　)

A. AC=BC

B. VC⊥VD

C. AB⊥VC

D. S△VCD·AB=S△ABC·VO

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【題目】已知圓： 過橢圓： ()的短軸端點， ， 分別是圓與橢圓上任意兩點，且線段長度的最大值為3．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點作圓的一條切線交橢圓于， 兩點，求的面積的最大值．

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【題目】小五、小一、小節(jié)、小快、小樂五位同學站成一排，若小一不出現在首位和末位，小五、小節(jié)、小樂中有且僅有兩人相鄰，求能滿足條件的不同排法共有多少種？

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【題目】已知每一項都是正數的數列滿足， ．

（1）用數學歸納法證明： ；

（2）證明： ；

（3）記為數列的前項和，證明： ．

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