【題目】已知△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若sin2 A+sin2 B=sin2C+sin AsinB,ccosB=b(1﹣cosC).
(1)判斷△ABC的形狀;
(2)在△ABC的邊AB,AC上分別取D,E兩點(diǎn),使沿線段DE折疊三角形時(shí),頂點(diǎn)A正好落在邊BC上的P點(diǎn)處,設(shè)∠BDP=θ,當(dāng)AD最小時(shí),求 的值.
【答案】
(1)解:由sin2A+sin2B=sin2C+sinAsinB得a2+b2=c2+ab
∴
又0<C<π∴
又由 ccosB=b(1﹣cosC)得:sinCcosB=sinB(1﹣cosC)
∴sinCcosB+sinBcosC=sinB∴sin(B+C)=sinB
即sinA=sinB∴a=b
故△ABC為等邊三角形
(2)解:如圖:連結(jié)AP,
∵AD=DP∴θ=2∠BAP
∴
又設(shè)AD=DP=y,AB=a,則BD=a﹣y
在△BDP中,由正弦定理有:
∴
故
∴ 時(shí)
此時(shí)
【解析】(1)利用正弦定理以及余弦定理,結(jié)合兩角和與差的三角函數(shù),判斷三角形的形狀.(2)連結(jié)AP,設(shè)AD=DP=y,AB=a,則BD=a﹣y,由正弦定理求出表達(dá)式,通過三角函數(shù)的最值求解就.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中, 是的中點(diǎn),底面為矩形, , , ,且平面平面,平面與棱交于點(diǎn),平面與平面交于直線.
(1)求證: ;
(2)求與平面所成角的正弦值為,求的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)求與直線3x+4y-7=0垂直,且與原點(diǎn)的距離為6的直線方程;
(2)求經(jīng)過直線l1:2x+3y-5=0與l2:7x+15y+1=0的交點(diǎn),且平行于直線x+2y-3=0的直線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C對(duì)邊分別為a,b,c,已知A=60°,a= ,sinB+sinC=6 sinBsinC,則△ABC的面積為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)寫出曲線的參數(shù)方程和直線的普通方程;
(2)已知點(diǎn)是曲線上一點(diǎn),求點(diǎn)到直線的最小距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠隨機(jī)抽取部分工人調(diào)查其上班路上所需時(shí)間(單位:分鐘),并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖),若上班路上所需時(shí)間的范圍是[0,100],樣本數(shù)據(jù)分組為[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].
(1)求直方圖中a的值;
(2)如果上班路上所需時(shí)間不少于1小時(shí)的工人可申請?jiān)诠S住宿,若招工2400人,請估計(jì)所招工人中有多少名工人可以申請住宿;
(3)該工廠工人上班路上所需的平均時(shí)間大約是多少分鐘.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)是等差數(shù)列,是等比數(shù)列,且,則下列結(jié)論正確的是( )
A. B.
C. D. ,使得
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線C: (a>0,b>0)過點(diǎn)A(1,0),且離心率為
(1)求雙曲線C的方程;
(2)已知直線x﹣y+m=0與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A,B,且線段AB的中點(diǎn)在圓x2+y2=5上,求m的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)y=x2﹣4px﹣2的圖象過點(diǎn)A(tanα,1),及B(tanβ,1),求sin2(α+β).
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