Question

【題目】已知△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若sin2 A+sin2 B=sin2C+sin AsinB，ccosB=b（1﹣cosC）．

（1）判斷△ABC的形狀；
（2）在△ABC的邊AB，AC上分別取D，E兩點(diǎn)，使沿線段DE折疊三角形時(shí)，頂點(diǎn)A正好落在邊BC上的P點(diǎn)處，設(shè)∠BDP=θ，當(dāng)AD最小時(shí)，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由sin2A+sin2B=sin2C+sinAsinB得a2+b2=c2+ab

∴

又0＜C＜π∴

又由 ccosB=b（1﹣cosC）得：sinCcosB=sinB（1﹣cosC）

∴sinCcosB+sinBcosC=sinB∴sin（B+C）=sinB

即sinA=sinB∴a=b

故△ABC為等邊三角形

（2）解：如圖：連結(jié)AP，

∵AD=DP∴θ=2∠BAP

∴

又設(shè)AD=DP=y，AB=a，則BD=a﹣y

在△BDP中，由正弦定理有：

∴

故

∴ 時(shí)

此時(shí)

【解析】（1）利用正弦定理以及余弦定理，結(jié)合兩角和與差的三角函數(shù)，判斷三角形的形狀．（2）連結(jié)AP，設(shè)AD=DP=y，AB=a，則BD=a﹣y，由正弦定理求出表達(dá)式，通過(guò)三角函數(shù)的最值求解就．