Question

在如圖的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，
BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中點．
（1）求證：AB∥平面DEG；
（2）求證：BD⊥EG；
（3）求三棱錐A-BED的體積．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的性質

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）先證明出AB∥DG，即而根據(jù)線面平行的判定定理證明出AB∥平面DEG．
（2）先根據(jù)線面垂直的性質證明出EF⊥AE，進而根據(jù)線面垂直的判定定理證明出AE⊥平面BCFE，根據(jù)線面垂直的性質推斷出DH⊥EG，證明出四邊形BGHE為正方形，進而推斷出BH⊥EG，最后根據(jù)線面垂直的判定定理證明出EG⊥平面BHD，則BD⊥EG得證．
（3）先證明出AD⊥平面AEB，推斷出三棱錐A-BED的高為AD，進而根據(jù)三棱錐體積的公式求得其體積．

解答： （1）證明：∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC．
又∵BC=2AD，G是BC的中點，∴AD∥BG，
∴四邊形ADGB是平行四邊形，∴AB∥DG．    
又∵AB?平面DEG，DG?平面DEG，∴AB∥平面DEG．
（2）證明：∵EF⊥平面AEB，AE?平面AEB，∴EF⊥AE，
又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB，EF?平面BCFE，∴AE⊥平面BCFE．
過D作DH∥AE交EF于H，則DH⊥平面BCFE．
∵EG?平面BCFE，∴DH⊥EG．
∵AD∥EF，DH∥AE，∴四邊形AEHD平行四邊形，∴EH=AD=2，
∴EH=BG=2，又EH∥BG，EH⊥BE，
∴四邊形BGHE為正方形，∴BH⊥EG，
又BH∩DH=H，BH?平面BHD，DH?平面BHD，∴EG⊥平面BHD．
∵BD?平面BHD，∴BD⊥EG．
（3）∵EF⊥平面AEB，EF∥AD，∴AD⊥平面AEB，故三棱錐A-BED的高為AD
∵AE⊥EB，∴S_△AEB=

1

2

AE•BE=

1

2

×2×2=2，
∴V_A-BED=

1

3

AD•S_△AEB=

1

3

×2×2=

4

3

．

點評：本題主要考查了線面平行，線面垂直的判定定理的運用．要求學生對基礎定理能熟練記憶并靈活運用．