Question

函數(shù)f（x）=x3+

1

2

ax2+x+1（x∈R）．
（1）若f（x）在x∈（-∞，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，設(shè)g（x）=e^2x-ae^x，x∈[0，ln2]，求函數(shù)g（x）的最小值；
（3）當(dāng)a=0時(shí)，曲線y=f（x）的切線的斜率的取值范圍記為集合A，曲線y=f（x）上不同兩點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）連線的斜率的取值范圍記為集合B，你認(rèn)為集合A，B之間有怎樣的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）若f（x）在x∈（-∞，+∞）上是增函數(shù)，則利用f'（x）≥0恒成立．
（2）利用換元法，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最小值．
（3）利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，利用條件求出集合A，B，然后利用集合A，B元素關(guān)系判斷集合之間的關(guān)系．

解答：解：（1）因?yàn)閒'（x）=3x²+ax+1，若△=a²-12＜0，即-2

3

＜a＜2

3

時(shí)，都有f'（x）＞0，此時(shí)函數(shù)在R上單調(diào)遞增．
若△=0，即a=±2

3

時(shí)，f'（x）≥0，所以此時(shí)函數(shù)在R上單調(diào)遞增．
若△＞0，顯然不合題意，
綜上若函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍[-2

3

，2

3

]．
（2）設(shè)t=e^x，則t∈[1，2]，h（t）=t²-at=(t-

a

2

)2-

a2

4

，
當(dāng)-

3

≤

a

2

≤1，即-2

3

≤a≤2時(shí)，h（t）在[1，2]上是增函數(shù)，所以當(dāng)t=1時(shí)，h（t）的最小值為h（1）=1-a，也是最小值．
當(dāng)1＜

a

2

≤

3

，即2＜a≤2

3

時(shí)，h（t）的最小值為h（2

3

）=12-2

3

a．
（3）集合A，B之間的關(guān)系為B是A的真子集．
證明如下：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x³+x+1，f'（x）=3x²+1≥1，故A=[1，+∞）．
設(shè)PQ的斜率為k，則k=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

x

2 1

+x1x2+

x

2 2

+1=(x1+

x2

2

)2+

3

4

x

2 2

+1，
若(x1+

x2

2

)2+

3

4

x

2 2

=0，當(dāng)且僅當(dāng)

x2=0 x1+ x2 2 =0

，即x₁=x₂=0，這與已知x₁≠x₂矛盾，
所以(x1+

x2

2

)2+

3

4

x

2 2

＞0，由此可得k＞1，所以B=（1，+∞），
即B是A的真子集．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．