精英家教網(wǎng)函數(shù)y=ax3-x2+cx（a≠0）的圖象如圖所示，它與x軸僅有兩個(gè)公共點(diǎn)O（0，0）與A（xA，0）（xA＞0）；（1）用反證法證明常數(shù)c≠0；（2）如果xA=
12
，求函數(shù)的解析式．
分析：（1）根據(jù)反證明法的證明方法，先假設(shè)c=0，則y=ax3-x2=x2（ax-1），這與圖象所給的矛盾，從而得出c≠0；
（2）由（1）知c≠0，得出y=x（ax2-x+c），圖象與x軸僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，得出方程ax2-x+c=0（a≠0）有二等根
1
2
．
由韋達(dá)定理列出關(guān)于a，c．的方程，解之即可．
解答：解：（1）假設(shè)c=0，則y=ax3-x2=x2（ax-1）；
∴xA=
1
a
＞0，當(dāng)x＜xA時(shí)，f(x)＜0這與圖象所給的：
當(dāng)0＜x＜xA時(shí)，f（x）＞0矛盾，∴c≠0
（2）由（1）知c≠0，∴y=x（ax2-x+c）
∵圖象與x軸僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，
∴方程ax2-x+c=0（a≠0）有二等根
1
2
．
由韋達(dá)定理
1
a
=
1
2
+
1
2
c
a
=
1
2
×
1
2
，∴
a=1
c=
1
4
，∴y=x3-x2+
1
4
x
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)的圖象與圖象變化、函數(shù)解析式的求解及常用方法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的導(dǎo)函數(shù)為y=3ax2+2bx+c，不妨把方程y=3ax2+2bx+c=0稱為導(dǎo)方程，其判別式△=4（b2-3ac），若△＞0，設(shè)其兩根為x1，x2，則當(dāng)a＜0，△≤0時(shí)，三次函數(shù)的圖象是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

有下列命題中假命題的序號(hào)是
①④
①④

①x=0是函數(shù)y=x3的極值點(diǎn)；
②三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d有極值點(diǎn)的充要條件是b2-3ac＞0；
③奇函數(shù)f（x）=mx3+（m-1）x2+48（m-2）x+n在區(qū)間（-4，4）上單調(diào)遞減．
④若雙曲線的漸近線方程為y=±
3
x，則其離心率為2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•株洲模擬）已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0，x∈R）為奇函數(shù)，且f（x）在x=1處取得極大值2．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）記g(x)=
f(x)x
+(k+1)lnx，求函數(shù)y=g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)h（x）=x2-2bx+4，若對(duì)任意x1∈[-2，1]，?x2∈[1，2]使f（x1）≥h（x2），求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

函數(shù)y=ax3-x2+cx（a≠0）的圖象如圖所示，它與x軸僅有兩個(gè)公共點(diǎn)O（0，0）與A（xA，0）（xA＞0）；（1）用反證法證明常數(shù)c≠0；（2）如果數(shù)學(xué)公式，求函數(shù)的解析式．

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