Question

設(shè)A，B，C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z₁，z₂，z₃滿足z₁+z₂+z₃=0，且|z₁|=|z₂|=|z₃|=1
（1）證明：△ABC是內(nèi)接于單位圓的正三角形；
（2）求S_△ABC；

Answer 1

分析：（1）要證明三角形是正三角形，從三角形的邊長(zhǎng)入手，根據(jù)三角形的模長(zhǎng)都是1，得到三個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在單位圓上，根據(jù)三個(gè)復(fù)數(shù)的和是0，得到其中一個(gè)復(fù)數(shù)可以用其他兩個(gè)來(lái)表示，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算律，得到任意兩個(gè)復(fù)數(shù)的差的模長(zhǎng)是相等的．
（2）根據(jù)三角形是一個(gè)正三角形，且邊長(zhǎng)已知，利用正弦定理表示出三角形的面積，計(jì)算得到結(jié)果．

解答：解：（1）∵|z₁|=|z₂|=|z₃|=1
∴A，B，C三點(diǎn)都在單位圓上
∵A，B，C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z₁，z₂，z₃滿足z₁+z₂+z₃=0
∴z₁=-（z₂+z₃）
∴1=z1

.

z1

=（z₂+z₃）（

.

z2

+

.

z3

）=

.

z2

z3+

.

z3

z2=-1，
∴|z₂-z₃|²=（z₂-z₃）（

.

z2

-

.

z3

）=3，
∴|z₂-z₃|=

3

，
同理可得|z₁-z₂|=|z₁-z₃|=

3

，
∴△ABC是內(nèi)接與單位圓的正三角形，
（2）S_△ABC=

1

2

|AB|•|AC|sinA
=

1

2

•

3

•

3

•

3

2

=

3 3

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，考查復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)，考查三角形的面積，是一個(gè)綜合題，解題的關(guān)鍵是怎么證明三角形是正三角形，可以從邊長(zhǎng)入手，也可以從角度入手．