Question

已知數列{a_n}滿足：a₁=2，a₁+a₂+a₃=12，且a_n-2a_n+1+a_n+2=0（n∈N^*）
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）令b_n=

4

anan+1

+2n-1an，求數列{b_n}的前n項和T_n．
（Ⅲ）已知數列{c_n}滿足

1

cn

=3

an

2

，其前n項和C_n；試比較C_n與

1

2

的大小關系．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由a_n-2a_n+1+a_n+2=0，推導出數列{a_n}是等差數列，由此能求出數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）確定數列的通項，利用分組求和，即可求數列{b_n}的前n項和T_n．
（Ⅲ）利用等比數列的求和公式求和，即可得出結論．

解答： 解：（Ⅰ）∵an-2an+1+an+2=0(n∈N*)
∴數列{a_n}是以a₁=2為首項的等差數列，
又a₁+a₂+a₃=12知a₂=4，所以d=2
故a_n=2n…（3分）
（Ⅱ） bn=

4

anan+1

+2n-1an=(

1

n

-

1

n+1

)+n•2n
而

4

anan+1

=

4

4n•4(n+1)

=

1

n•(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴

4

a1a2

+

4

a2a3

+…+

4

anan+1

=(

1

1

-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

又令Sn=1•21+2•22+…+n•2n，
2Sn=          1•22+2•23+…+n•2n+1
∴-Sn=1•21+1•22+…+1•2n-n•2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=-2+(1-n)2n+1
∴Sn=(n-1)2n+1+2
故   Tn=(n-1)2n+1+3-

1

n+1

…（10分）
（Ⅲ）∵a_n=2n，∴cn=(

1

3

)n
∴Cn=

1 3 (1-( 1 3 )n)

1- 1 3

=

1

2

(1-(

1

3

)n)
故Cn＜

1

2

…（14分）

點評：本題考查數列遞推式，考查數列的通項與求和，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．