Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），設(shè)其導(dǎo)函數(shù)f′（x），當(dāng)x∈（-∞，0]時(shí)，恒有xf′（x）＜f（-x），則滿足

1

3

(2x-1)f(2x-1)＜f(3)的實(shí)數(shù)x的取值范圍是（　�。�

A．（-1，2）

B．（-1， 1 2 ）

C．（ 1 2 ，2）

D．（-2，1）

Answer 1

∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)
∴f（-x）=-f（x）
∴由xf′（x）＜f（-x）可得xf^′（x）+f（x）＜0，即[xf（x）]^′＜0
∵當(dāng)x∈（-∞，0]時(shí)，恒有xf′（x）＜f（-x），
∴當(dāng)x∈（-∞，0]時(shí)，恒有[xf（x）]^′＜0
設(shè)F（x）=xf（x）
則函數(shù)F（x）=xf（x）為（-∞，0]上的減函數(shù)．
∵F（-x）=（-x）f（-x）=（-x）（-f（x））=xf（x）=F（x）
∴函數(shù)F（x）為R上的偶函數(shù)．
∴函數(shù)F（x）=xf（x）為[0，+∞）上的增函數(shù)．
∵

1

3

(2x-1)f(2x-1)＜f(3)
∴（2x-1）f（2x-1）＜3f（3）
∴F（2x-1）＜F（3）
∴|2x-1|＜3
解得-1＜x＜2
故選A