Question

（2012•安徽模擬）如圖，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，B為橢圓的上頂點(diǎn)且△BF₁F₂的周長(zhǎng)為4+2

3

．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在這樣的直線(xiàn)使得直線(xiàn)l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，且橢圓右焦點(diǎn)F₂恰為△BMN的垂心？若存在，求出直線(xiàn)l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明由..

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，可得

c

a

=

3

2

，利用△BF₁F₂的周長(zhǎng)為4+2

3

，可得a+c=2+

3

，由此可求橢圓的方程；
（2）假設(shè)存在直線(xiàn)使得直線(xiàn)l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，且橢圓右焦點(diǎn)F₂恰為△BMN的垂心，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），確定k_MN=

3

設(shè)l的方程為y=

3

x+m，代入

x2

4

+y2=1，利用

F2M

=(x1-

3

，y1)，

BN

=(x2，y2-1)，

F2M

⊥ 

BN

，即可求得滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)l的方程．

解答：解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，∴

c

a

=

3

2

①
∵△BF₁F₂的周長(zhǎng)為4+2

3

，∴a+c=2+

3

②
由①②可得c=

3

，a=2，∴b=

a2-c2

=1
∴橢圓的方程為

x2

4

+y2=1；
（2）假設(shè)存在直線(xiàn)使得直線(xiàn)l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，且橢圓右焦點(diǎn)F₂恰為△BMN的垂心
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），∵B（0，1），F(xiàn)₂（

3

，0），∴k_MF2=-

3

3

，∴k_MN=

3

設(shè)l的方程為y=

3

x+m，代入

x2

4

+y2=1消元可得13x²+8

3

mx+4（m²-1）=0
∴x₁+x₂=-

8 3 m

13

，x1x2=

4(m2-1)

13

③
∵

F2M

=(x1-

3

，y1)，

BN

=(x2，y2-1)，

F2M

⊥ 

BN

∴

F2M

•

BN

=x2(x1-

3

)+y1(y2-1)=4x₁x₂+

3

(m-1)(x1+x2) +m(m-1)=0④
③代入④，可得4×

4(m2-1)

13

-

3

(m-1)×

8 3 m

13

+m(m-1)=0
∴（m-1）（5m+16）=0
∴m=1，或m=-

16

5

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)m=1時(shí)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，不能構(gòu)成三角形，故舍去
∴存在直線(xiàn)l：y=

3

x-

16

3

滿(mǎn)足條件．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，聯(lián)立方程，利用數(shù)量積為0是解題的關(guān)鍵．